Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào trong các phương trình sau là phương trình của mặt cầu. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ứng với phương trình đó.

a) x2 + y2 + z2 + x – 2y + 4z – 3 = 0.

b) x2 + y2 + z2 – 2x + 4y – 4z + 10 = 0.

Question

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào trong các phương trình sau là phương trình của mặt cầu. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ứng với phương trình đó.

a) x2 + y2 + z2 + x – 2y + 4z – 3 = 0.

b) x2 + y2 + z2 – 2x + 4y – 4z + 10 = 0.

Timi · Accepted Answer

Để xác định phương trình nào là phương trình của mặt cầu và tìm tâm cũng như bán kính của mặt cầu, ta cần đưa phương trình về dạng chuẩn của phương trình mặt cầu:

$$
(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2
$$

Trong đó, $(a, b, c)$ là tọa độ tâm và $R$ là bán kính của mặt cầu.

a) Phương trình:

$$ 
x^2 + y^2 + z^2 + x - 2y + 4z - 3 = 0 
$$

Ta nhóm các biến và hoàn thành bình phương:

- Nhóm và hoàn thành bình phương cho $x$:

$$
x^2 + x = (x + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}
$$

- Nhóm và hoàn thành bình phương cho $y$:

$$
y^2 - 2y = (y - 1)^2 - 1
$$

- Nhóm và hoàn thành bình phương cho $z$:

$$
z^2 + 4z = (z + 2)^2 - 4
$$

Thay các biểu thức hoàn thành bình phương vào phương trình ban đầu:

$$
(x + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} + (y - 1)^2 - 1 + (z + 2)^2 - 4 - 3 = 0
$$

Rút gọn:

$$
(x + \frac{1}{2})^2 + (y - 1)^2 + (z + 2)^2 = \frac{1}{4} + 1 + 4 + 3 = \frac{17}{4}
$$

Phương trình này có dạng của phương trình mặt cầu với tâm $(- \frac{1}{2}, 1, -2)$ và bán kính $R = \sqrt{\frac{17}{4}} = \frac{\sqrt{17}}{2}$.

b) Phương trình:

$$ 
x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y - 4z + 10 = 0 
$$

Ta nhóm các biến và hoàn thành bình phương:

- Nhóm và hoàn thành bình phương cho $x$:

$$
x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1
$$

- Nhóm và hoàn thành bình phương cho $y$:

$$
y^2 + 4y = (y + 2)^2 - 4
$$

- Nhóm và hoàn thành bình phương cho $z$:

$$
z^2 - 4z = (z - 2)^2 - 4
$$

Thay các biểu thức hoàn thành bình phương vào phương trình ban đầu:

$$
(x - 1)^2 - 1 + (y + 2)^2 - 4 + (z - 2)^2 - 4 + 10 = 0
$$

Rút gọn:

$$
(x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 2)^2 = 1 + 4 + 4 - 10 = -1
$$

Phương trình này không thể là phương trình của mặt cầu vì vế phải là số âm, không thể có bán kính thực.

Kết luận:

Phương trình a) là phương trình của mặt cầu với tâm $(- \frac{1}{2}, 1, -2)$ và bán kính $R = \frac{\sqrt{17}}{2}$. Phương trình b) không phải là phương trình của mặt cầu.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào trong các phương trình sau là phương trình của mặt cầu. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ứng với phương trình đó. a) x2 + y2 + z2 + x – 2y + 4...