Trong không gian Oxyz, xác định phương trình mặt cầu (S) biết:

a) mặt cầu (S) có tâm A(2; 1; 0), đi qua điểm B(0; 1; 2).

b) mặt cầu (S) có đường kính AB với A(1; 2; 3), B(5; 4; −1).

Question

Trong không gian Oxyz, xác định phương trình mặt cầu (S) biết:

a) mặt cầu (S) có tâm A(2; 1; 0), đi qua điểm B(0; 1; 2).

b) mặt cầu (S) có đường kính AB với A(1; 2; 3), B(5; 4; −1).

Timi · Accepted Answer

Để xác định phương trình mặt cầu trong không gian Oxyz, chúng ta cần biết tâm và bán kính của mặt cầu.

a) Mặt cầu (S) có tâm A(2; 1; 0), đi qua điểm B(0; 1; 2).

1. Xác định tâm và bán kính:
   - Tâm của mặt cầu là điểm $ A(2; 1; 0) $.
   - Bán kính $ R $ của mặt cầu là khoảng cách từ tâm $ A $ đến điểm $ B $.

2. Tính bán kính:
   - Sử dụng công thức khoảng cách giữa hai điểm trong không gian:
   $$
   R = \sqrt{(0 - 2)^2 + (1 - 1)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 0^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 0 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}
   $$

3. Phương trình mặt cầu:
   - Phương trình mặt cầu có tâm $ A(2; 1; 0) $ và bán kính $ R = 2\sqrt{2} $ là:
   $$
   (x - 2)^2 + (y - 1)^2 + (z - 0)^2 = (2\sqrt{2})^2
   $$
   $$
   (x - 2)^2 + (y - 1)^2 + z^2 = 8
   $$

b) Mặt cầu (S) có đường kính AB với A(1; 2; 3), B(5; 4; -1).

1. Xác định tâm và bán kính:
   - Tâm của mặt cầu là trung điểm của đoạn thẳng $ AB $.
   - Trung điểm $ M $ của $ AB $ có tọa độ:
   $$
   M\left(\frac{1 + 5}{2}; \frac{2 + 4}{2}; \frac{3 + (-1)}{2}\right) = M(3; 3; 1)
   $$

2. Tính bán kính:
   - Bán kính $ R $ là nửa độ dài của đoạn thẳng $ AB $.
   - Độ dài đoạn thẳng $ AB $ là:
   $$
   AB = \sqrt{(5 - 1)^2 + (4 - 2)^2 + (-1 - 3)^2} = \sqrt{4^2 + 2^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 4 + 16} = \sqrt{36} = 6
   $$
   - Vậy bán kính $ R = \frac{6}{2} = 3 $.

3. Phương trình mặt cầu:
   - Phương trình mặt cầu có tâm $ M(3; 3; 1) $ và bán kính $ R = 3 $ là:
   $$
   (x - 3)^2 + (y - 3)^2 + (z - 1)^2 = 3^2
   $$
   $$
   (x - 3)^2 + (y - 3)^2 + (z - 1)^2 = 9
   $$

Vậy, phương trình mặt cầu trong hai trường hợp đã được xác định như trên.