Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x – 2y – 2z – 22 = 0 và mặt phẳng (P): 3x – 2y + 6z + 14 = 0. Tính khoảng cách từ tâm I của mặt cầu (S) đến mặt phẳng (P).

Question

Accepted Answer

Để tính khoảng cách từ tâm $ I $ của mặt cầu $ (S) $ đến mặt phẳng $ (P) $, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định tâm và bán kính của mặt cầu $ (S) $.

Phương trình mặt cầu $ (S) $ có dạng:
$$ x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 2y - 2z - 22 = 0. $$

Ta đưa phương trình này về dạng chuẩn của phương trình mặt cầu:
$$ (x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2. $$

Để làm điều này, ta hoàn thành bình phương cho từng biến:

- Với $ x $: $ x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1 $.
- Với $ y $: $ y^2 - 2y = (y - 1)^2 - 1 $.
- Với $ z $: $ z^2 - 2z = (z - 1)^2 - 1 $.

Thay vào phương trình mặt cầu, ta có:
$$ (x - 1)^2 - 1 + (y - 1)^2 - 1 + (z - 1)^2 - 1 - 22 = 0. $$

Rút gọn, ta được:
$$ (x - 1)^2 + (y - 1)^2 + (z - 1)^2 = 25. $$

Vậy, tâm của mặt cầu $ I(1, 1, 1) $ và bán kính $ R = 5 $.

Bước 2: Tính khoảng cách từ tâm $ I(1, 1, 1) $ đến mặt phẳng $ (P) $.

Phương trình mặt phẳng $ (P) $ là:
$$ 3x - 2y + 6z + 14 = 0. $$

Công thức tính khoảng cách từ điểm $ I(x_0, y_0, z_0) $ đến mặt phẳng $ Ax + By + Cz + D = 0 $ là:
$$ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}. $$

Thay $ I(1, 1, 1) $ vào công thức, ta có:
$$ d = \frac{|3 \cdot 1 - 2 \cdot 1 + 6 \cdot 1 + 14|}{\sqrt{3^2 + (-2)^2 + 6^2}}. $$

Tính toán tử số:
$$ 3 \cdot 1 - 2 \cdot 1 + 6 \cdot 1 + 14 = 3 - 2 + 6 + 14 = 21. $$

Tính toán mẫu số:
$$ \sqrt{3^2 + (-2)^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 4 + 36} = \sqrt{49} = 7. $$

Vậy khoảng cách là:
$$ d = \frac{|21|}{7} = 3. $$

Do đó, khoảng cách từ tâm $ I $ của mặt cầu $ (S) $ đến mặt phẳng $ (P) $ là 3.