Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục là kilômét) một trạm phát sóng rađa của Nga được đặt trên bán đảo Crimea ở vị trí I(−2; 1; −1) và được thiết kế phát hiện máy bay của địch ở khoảng cách tối đa 500 km.

a) Sử dụng phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới bên ngoài vùng phủ sóng của rađa trong không gian.

b) Hai chiếc máy bay do thám của Mỹ và Anh đang bay ở vị trí có tọa độ lần lượt là M(−200; 100; −250) và N(350; −100; 300). Hỏi rađa của Nga có thể phát hiện ra hai chiếc máy bay do thám của Mỹ và Anh không?

Question

Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục là kilômét) một trạm phát sóng rađa của Nga được đặt trên bán đảo Crimea ở vị trí I(−2; 1; −1) và được thiết kế phát hiện máy bay của địch ở khoảng cách tối đa 500 km.

a) Sử dụng phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới bên ngoài vùng phủ sóng của rađa trong không gian.

b) Hai chiếc máy bay do thám của Mỹ và Anh đang bay ở vị trí có tọa độ lần lượt là M(−200; 100; −250) và N(350; −100; 300). Hỏi rađa của Nga có thể phát hiện ra hai chiếc máy bay do thám của Mỹ và Anh không?

Accepted Answer

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần như sau:

a) Phương trình mặt cầu

Trạm phát sóng rađa được đặt tại điểm $ I(-2; 1; -1) $ và có bán kính hoạt động tối đa là 500 km. Phương trình mặt cầu có tâm $ I(x_0, y_0, z_0) $ và bán kính $ R $ được viết dưới dạng:

$$
(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2
$$

Thay các giá trị vào, ta có:

$$
(x + 2)^2 + (y - 1)^2 + (z + 1)^2 = 500^2
$$

Vậy phương trình mặt cầu mô tả ranh giới bên ngoài vùng phủ sóng của rađa là:

$$
(x + 2)^2 + (y - 1)^2 + (z + 1)^2 = 250000
$$

b) Kiểm tra vị trí của máy bay

Để xác định xem rađa có thể phát hiện hai chiếc máy bay hay không, ta cần tính khoảng cách từ tâm mặt cầu $ I(-2; 1; -1) $ đến các điểm $ M(-200; 100; -250) $ và $ N(350; -100; 300) $. Nếu khoảng cách này nhỏ hơn hoặc bằng 500 km, rađa có thể phát hiện máy bay.

Khoảng cách từ $ I $ đến $ M $:

$$
d_{IM} = \sqrt{(-200 + 2)^2 + (100 - 1)^2 + (-250 + 1)^2}
$$

$$
= \sqrt{(-198)^2 + 99^2 + (-249)^2}
$$

$$
= \sqrt{39204 + 9801 + 62001}
$$

$$
= \sqrt{111006}
$$

Khoảng cách từ $ I $ đến $ N $:

$$
d_{IN} = \sqrt{(350 + 2)^2 + (-100 - 1)^2 + (300 + 1)^2}
$$

$$
= \sqrt{352^2 + (-101)^2 + 301^2}
$$

$$
= \sqrt{123904 + 10201 + 90601}
$$

$$
= \sqrt{224706}
$$

So sánh với bán kính 500 km:

- $ \sqrt{111006} \approx 333.22 $ km, nhỏ hơn 500 km.
- $ \sqrt{224706} \approx 474.11 $ km, nhỏ hơn 500 km.

Kết luận: Rađa của Nga có thể phát hiện cả hai chiếc máy bay do thám của Mỹ và Anh.

Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục là kilômét) một trạm phát sóng rađa của Nga được đặt trên bán đảo Crimea ở vị trí I(−2; 1; −1) và được thiết kế phát hiện máy bay của địch ở k...