Từ một hộp có 50 quả cầu trắng và 100 quả cầu đen. Người ta rút ngẫu nhiên không hoàn lại từng quả một và rút hai lần. Tính xác suất để lần đầu rút được quả trắng biết lần thứ hai cũng rút được quả trắng.

Question

Timi · Accepted Answer

Để tính xác suất để lần đầu rút được quả trắng biết lần thứ hai cũng rút được quả trắng, chúng ta sẽ sử dụng công thức xác suất có điều kiện.

Bước 1: Xác định tổng số quả cầu ban đầu:
- Số quả cầu trắng: 50
- Số quả cầu đen: 100
- Tổng số quả cầu: 150

Bước 2: Xác định xác suất để lần thứ hai rút được quả trắng:
- Nếu lần đầu rút được quả trắng, thì còn lại 49 quả cầu trắng và 100 quả cầu đen, tức là 149 quả cầu.
- Xác suất để lần thứ hai rút được quả trắng trong trường hợp này là: 
$$ P(\text{Lần 2 trắng} | \text{Lần 1 trắng}) = \frac{49}{149} $$

- Nếu lần đầu rút được quả đen, thì còn lại 50 quả cầu trắng và 99 quả cầu đen, tức là 149 quả cầu.
- Xác suất để lần thứ hai rút được quả trắng trong trường hợp này là: 
$$ P(\text{Lần 2 trắng} | \text{Lần 1 đen}) = \frac{50}{149} $$

Bước 3: Tính xác suất để lần thứ hai rút được quả trắng:
- Xác suất để lần đầu rút được quả trắng là: 
$$ P(\text{Lần 1 trắng}) = \frac{50}{150} = \frac{1}{3} $$
- Xác suất để lần đầu rút được quả đen là: 
$$ P(\text{Lần 1 đen}) = \frac{100}{150} = \frac{2}{3} $$

- Xác suất để lần thứ hai rút được quả trắng là:
$$ P(\text{Lần 2 trắng}) = P(\text{Lần 1 trắng}) \cdot P(\text{Lần 2 trắng} | \text{Lần 1 trắng}) + P(\text{Lần 1 đen}) \cdot P(\text{Lần 2 trắng} | \text{Lần 1 đen}) $$
$$ P(\text{Lần 2 trắng}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{49}{149} + \frac{2}{3} \cdot \frac{50}{149} $$
$$ P(\text{Lần 2 trắng}) = \frac{49}{447} + \frac{100}{447} $$
$$ P(\text{Lần 2 trắng}) = \frac{149}{447} $$

Bước 4: Tính xác suất để lần đầu rút được quả trắng biết lần thứ hai cũng rút được quả trắng:
$$ P(\text{Lần 1 trắng} | \text{Lần 2 trắng}) = \frac{P(\text{Lần 1 trắng} \cap \text{Lần 2 trắng})}{P(\text{Lần 2 trắng})} $$
$$ P(\text{Lần 1 trắng} \cap \text{Lần 2 trắng}) = P(\text{Lần 1 trắng}) \cdot P(\text{Lần 2 trắng} | \text{Lần 1 trắng}) $$
$$ P(\text{Lần 1 trắng} \cap \text{Lần 2 trắng}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{49}{149} $$
$$ P(\text{Lần 1 trắng} \cap \text{Lần 2 trắng}) = \frac{49}{447} $$

$$ P(\text{Lần 1 trắng} | \text{Lần 2 trắng}) = \frac{\frac{49}{447}}{\frac{149}{447}} $$
$$ P(\text{Lần 1 trắng} | \text{Lần 2 trắng}) = \frac{49}{149} $$

Vậy xác suất để lần đầu rút được quả trắng biết lần thứ hai cũng rút được quả trắng là:
$$ \boxed{\frac{49}{149}} $$

Từ một hộp có 50 quả cầu trắng và 100 quả cầu đen. Người ta rút ngẫu nhiên không hoàn lại từng quả một và rút hai lần. Tính xác suất để lần đầu rút được quả trắng biết lần thứ hai cũng rút được quả trắ...