Cho tam giác ABC vuôn tại A có AB < AC, phân giác BD (D thuộc AC). Vẽ DE vuông góc với BC (E thuộc BC). Gọi F là giao điểm của BA và ED. (có vẽ hình) a) Chứng minh ∆ADB = ∆EDB và DB ⊥ AE b) Chứng minh...

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết. a) Chứng minh ∆ADB = ∆EDB và DB ⊥ AE - Xét hai tam giác ∆ADB và ∆EDB: - Cạnh BD là cạnh chung. - Góc ADB = Góc EDB (vì BD là phân giác của góc ABC). - Góc BAD = Góc BED (vì DE ⊥ BC nên góc BED = 90 độ và góc BAD cũng là góc vuông do tam giác ABC vuông tại A). Do đó, hai tam giác ∆ADB và ∆EDB bằng nhau theo trường hợp góc - cạnh - góc (G-C-G). - Để chứng minh DB ⊥ AE: - Vì ∆ADB = ∆EDB, nên góc ADB = góc EDB. - DE ⊥ BC, nên góc EDB = 90 độ. - Do đó, góc ADB = 90 độ, suy ra DB ⊥ AE. b) Chứng minh DF = DC - Từ ∆ADB = ∆EDB, ta có AD = DE. - Xét tam giác vuông ADE, vì DE ⊥ BC và F là giao điểm của BA và ED, nên DF là đường cao từ D đến BC. - Do đó, DF = DC vì D là trung điểm của AC (do BD là phân giác và AD = DE). c) Chứng minh AD < DC - Từ phần b, ta đã có AD = DE và DF = DC. - Trong tam giác vuông ADE, AD là một cạnh góc vuông, còn DC là cạnh huyền của tam giác vuông DCE. - Do đó, AD < DC vì trong một tam giác vuông, cạnh góc vuông luôn nhỏ hơn cạnh huyền. d) Phân giác góc ACB cắt BD tại I. So sánh BI và CI. - Vì I là giao điểm của phân giác góc ACB và BD, nên I nằm trên phân giác của góc ACB. - Theo tính chất của phân giác trong tam giác, ta có: - BI/CI = AB/AC. - Do AB < AC (giả thiết), nên BI < CI. Vậy, chúng ta đã hoàn thành việc chứng minh từng phần của bài toán.