Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... Câu 17,Cho phương trình $\cos3x=\sin x.$ Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau.,Chọn đúng hoặc sai,$a)~\cos u=\cos v\Leftrightarrow u=v+k2\pi$ hoặc $u=-v+k2\pi,k\in\mathbb{Z}$ Đúng Sai,$b)~\cos3x=\sin x\Leftrightarrow\cos3x=\cos(\frac\pi2+x)$ Đúng Sai,c) Nghiệm của phương trình đã cho là $\left[\begin{array}{l}x=\frac\pi8+k\frac\pi2\x=-\frac\pi4+k\pi\end{array} ight.,~(k\in\mathbb{Z})$ Đúng Sai,d) Trên đoạn $[0;\pi],$ đồ thị hàm số $y=\cos3x$ và đồ thị hàm số $y=\sin x$ có đúng ba điểm chung Đúng sai,Câu 18,Cho phương trình $\sin x=-\frac{\sqrt3}2.$,Chọn đúng hoặc sai,$a)~x=\frac{4\pi}3$ là một nghiệm của phương trình Đúng sai,b) Phương trình đã cho tương đương với phương trình $\sin x=-\sin\frac\pi3$ Đúng Sai,c) Tất cả các nghiệm của phương trình là $x=-\frac\pi3+k2\pi$ Đúng Sai,d) Phương trình có đúng 1 nghiệm thuộc khoảng $(0;\frac{3\pi}2)$ Đúng Sai

Question

Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... Câu 17,Cho phương trình $\cos3x=\sin x.$ Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau.,Chọn đúng hoặc sai,$a)~\cos u=\cos v\Leftrightarrow u=v+k2\pi$ hoặc $u=-v+k2\pi,k\in\mathbb{Z}$ Đúng Sai,$b)~\cos3x=\sin x\Leftrightarrow\cos3x=\cos(\frac\pi2+x)$ Đúng Sai,c) Nghiệm của phương trình đã cho là $\left[\begin{array}{l}x=\frac\pi8+k\frac\pi2\x=-\frac\pi4+k\pi\end{array}ight.,~(k\in\mathbb{Z})$ Đúng Sai,d) Trên đoạn $[0;\pi],$ đồ thị hàm số $y=\cos3x$ và đồ thị hàm số $y=\sin x$ có đúng ba điểm chung Đúng sai,Câu 18,Cho phương trình $\sin x=-\frac{\sqrt3}2.$,Chọn đúng hoặc sai,$a)~x=\frac{4\pi}3$ là một nghiệm của phương trình Đúng sai,b) Phương trình đã cho tương đương với phương trình $\sin x=-\sin\frac\pi3$ Đúng Sai,c) Tất cả các nghiệm của phương trình là $x=-\frac\pi3+k2\pi$ Đúng Sai,d) Phương trình có đúng 1 nghiệm thuộc khoảng $(0;\frac{3\pi}2)$ Đúng Sai

Accepted Answer

Câu 17:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần phân tích từng mệnh đề một cách chi tiết.

Mệnh đề a): $\cos u = \cos v \Leftrightarrow u = v + k2\pi$ hoặc $u = -v + k2\pi, k \in \mathbb{Z}$

- Đây là công thức nghiệm của phương trình $\cos u = \cos v$. Công thức này là đúng. Khi hai góc có cùng giá trị cosin, chúng có thể bằng nhau hoặc đối xứng qua trục hoành, cộng thêm một bội số của $2\pi$.

Kết luận: Đúng.

Mệnh đề b): $\cos 3x = \sin x \Leftrightarrow \cos 3x = \cos(\frac{\pi}{2} + x)$

- Ta biết rằng $\sin x = \cos(\frac{\pi}{2} - x)$. Do đó, phương trình $\cos 3x = \sin x$ có thể viết lại thành $\cos 3x = \cos(\frac{\pi}{2} - x)$.
- Mệnh đề này sai vì $\cos 3x = \cos(\frac{\pi}{2} + x)$ không tương đương với $\cos 3x = \sin x$.

Kết luận: Sai.

Mệnh đề c): Nghiệm của phương trình đã cho là $\left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi}{8}+k\frac{\pi}{2}\x=-\frac{\pi}{4}+k\pi\end{array}\right.,~(k\in\mathbb{Z})$

- Từ $\cos 3x = \sin x$, ta có thể viết lại thành $\cos 3x = \cos(\frac{\pi}{2} - x)$.
- Sử dụng công thức nghiệm của phương trình $\cos u = \cos v$, ta có:
  1. $3x = \frac{\pi}{2} - x + k2\pi \Rightarrow 4x = \frac{\pi}{2} + k2\pi \Rightarrow x = \frac{\pi}{8} + k\frac{\pi}{2}$
  2. $3x = -(\frac{\pi}{2} - x) + k2\pi \Rightarrow 3x = -\frac{\pi}{2} + x + k2\pi \Rightarrow 2x = -\frac{\pi}{2} + k2\pi \Rightarrow x = -\frac{\pi}{4} + k\pi$
- Các nghiệm này khớp với mệnh đề đã cho.

Kết luận: Đúng.

Mệnh đề d): Trên đoạn $[0;\pi]$, đồ thị hàm số $y=\cos 3x$ và đồ thị hàm số $y=\sin x$ có đúng ba điểm chung.

- Xét hàm số $y = \cos 3x$ và $y = \sin x$ trên đoạn $[0; \pi]$.
- Ta cần tìm số nghiệm của phương trình $\cos 3x = \sin x$ trên đoạn này.
- Từ các nghiệm đã tìm được ở mệnh đề c), ta có:
  1. $x = \frac{\pi}{8} + k\frac{\pi}{2}$
  2. $x = -\frac{\pi}{4} + k\pi$
- Xét $x = \frac{\pi}{8} + k\frac{\pi}{2}$: Với $k = 0$, $x = \frac{\pi}{8}$; với $k = 1$, $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{8}$.
- Xét $x = -\frac{\pi}{4} + k\pi$: Với $k = 1$, $x = -\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{3\pi}{4}$.
- Các giá trị $x = \frac{\pi}{8}, \frac{5\pi}{8}, \frac{3\pi}{4}$ đều nằm trong đoạn $[0; \pi]$.

Kết luận: Đúng.

Tóm lại, các mệnh đề a), c), d) là đúng, còn mệnh đề b) là sai.

Câu 18:
a) Đúng vì $\sin \frac{4\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

b) Đúng vì $-\frac{\sqrt{3}}{2} = -\sin \frac{\pi}{3}$.

c) Sai vì tất cả các nghiệm của phương trình là $x = -\frac{\pi}{3} + k2\pi$ và $x = \frac{4\pi}{3} + k2\pi$, với $k$ là số nguyên.

d) Đúng vì trong khoảng $(0; \frac{3\pi}{2})$, phương trình có nghiệm duy nhất là $x = \frac{4\pi}{3}$.