giải giúp mình với ạ

Bài 1: a) Giải phương trình $(3x-2)(x+1)=0$ Phương trình đã cho là tích của hai nhân tử bằng 0, do đó: \[ 3x - 2 = 0 \quad \text{hoặc} \quad x + 1 = 0 \] Giải từng trường hợp: \[ 3x - 2 = 0 \implies 3x = 2 \implies x = \frac{2}{3} \] \[ x + 1 = 0 \implies x = -1 \] Vậy nghiệm của phương trình là: \[ x = \frac{2}{3} \quad \text{hoặc} \quad x = -1 \] b) Giải phương trình $2x(3x-2)-(x+1)(3x-2)=0$ Nhóm các hạng tử chung: \[ (3x-2)[2x - (x+1)] = 0 \] \[ (3x-2)(2x - x - 1) = 0 \] \[ (3x-2)(x-1) = 0 \] Phương trình đã cho là tích của hai nhân tử bằng 0, do đó: \[ 3x - 2 = 0 \quad \text{hoặc} \quad x - 1 = 0 \] Giải từng trường hợp: \[ 3x - 2 = 0 \implies 3x = 2 \implies x = \frac{2}{3} \] \[ x - 1 = 0 \implies x = 1 \] Vậy nghiệm của phương trình là: \[ x = \frac{2}{3} \quad \text{hoặc} \quad x = 1 \] c) Giải phương trình $\frac{4}{2x-3} + \frac{4x}{4x^2-9} = \frac{1}{2x+3}$ Điều kiện xác định: \[ 2x - 3 \neq 0 \implies x \neq \frac{3}{2} \] \[ 4x^2 - 9 \neq 0 \implies (2x-3)(2x+3) \neq 0 \implies x \neq \frac{3}{2} \quad \text{và} \quad x \neq -\frac{3}{2} \] \[ 2x + 3 \neq 0 \implies x \neq -\frac{3}{2} \] Quy đồng mẫu số: \[ \frac{4}{2x-3} + \frac{4x}{(2x-3)(2x+3)} = \frac{1}{2x+3} \] Quy đồng mẫu số chung là $(2x-3)(2x+3)$: \[ \frac{4(2x+3) + 4x}{(2x-3)(2x+3)} = \frac{1(2x-3)}{(2x-3)(2x+3)} \] Bỏ mẫu số chung: \[ 4(2x+3) + 4x = 2x - 3 \] \[ 8x + 12 + 4x = 2x - 3 \] \[ 12x + 12 = 2x - 3 \] \[ 10x = -15 \] \[ x = -\frac{3}{2} \] Tuy nhiên, $x = -\frac{3}{2}$ không thỏa mãn điều kiện xác định. Vậy phương trình vô nghiệm. d) Giải hệ phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{x-2} - \frac{1}{y-1} = 2 \\ \frac{2}{x-2} + \frac{3}{y-1} = 1 \end{array} \right. \] Đặt $u = \frac{1}{x-2}$ và $v = \frac{1}{y-1}$. Hệ phương trình trở thành: \[ \left\{ \begin{array}{l} u - v = 2 \\ 2u + 3v = 1 \end{array} \right. \] Giải hệ phương trình này: \[ u - v = 2 \implies u = v + 2 \] Thay vào phương trình thứ hai: \[ 2(v + 2) + 3v = 1 \] \[ 2v + 4 + 3v = 1 \] \[ 5v + 4 = 1 \] \[ 5v = -3 \] \[ v = -\frac{3}{5} \] Thay $v = -\frac{3}{5}$ vào $u = v + 2$: \[ u = -\frac{3}{5} + 2 = \frac{7}{5} \] Trở lại biến ban đầu: \[ \frac{1}{x-2} = \frac{7}{5} \implies x - 2 = \frac{5}{7} \implies x = \frac{19}{7} \] \[ \frac{1}{y-1} = -\frac{3}{5} \implies y - 1 = -\frac{5}{3} \implies y = -\frac{2}{3} \] Vậy nghiệm của hệ phương trình là: \[ x = \frac{19}{7}, \quad y = -\frac{2}{3} \] Bài 2: Chúng ta sẽ giải từng bài toán một cách chi tiết. Bài toán 1: Đề bài: Theo kế hoạch hai tổ sản xuất được giao làm 600 sản phẩm. Nhờ tăng năng suất lao động tổ 1 làm vượt mức 10% và tổ hai làm vượt mức 20% so với kế hoạch của mỗi tổ, nên cả hai tổ làm được 685 sản phẩm. Tính số sản phẩm mỗi tổ làm theo kế hoạch. Giải: 1. Đặt ẩn và điều kiện: - Gọi \( x \) là số sản phẩm theo kế hoạch của tổ 1. - Gọi \( y \) là số sản phẩm theo kế hoạch của tổ 2. - Theo kế hoạch, tổng số sản phẩm của hai tổ là 600, do đó: \[ x + y = 600 \] 2. Lập phương trình dựa trên thông tin tăng năng suất: - Tổ 1 làm vượt mức 10%, nên số sản phẩm thực tế của tổ 1 là \( 1.1x \). - Tổ 2 làm vượt mức 20%, nên số sản phẩm thực tế của tổ 2 là \( 1.2y \). - Tổng số sản phẩm thực tế là 685, do đó: \[ 1.1x + 1.2y = 685 \] 3. Giải hệ phương trình: - Hệ phương trình cần giải là: \[ \begin{cases} x + y = 600 \\ 1.1x + 1.2y = 685 \end{cases} \] - Từ phương trình thứ nhất, ta có: \( y = 600 - x \). - Thay vào phương trình thứ hai: \[ 1.1x + 1.2(600 - x) = 685 \] \[ 1.1x + 720 - 1.2x = 685 \] \[ -0.1x = -35 \] \[ x = 350 \] - Thay \( x = 350 \) vào phương trình \( y = 600 - x \): \[ y = 600 - 350 = 250 \] 4. Kết luận: - Số sản phẩm theo kế hoạch của tổ 1 là 350. - Số sản phẩm theo kế hoạch của tổ 2 là 250. Bài toán 2: Đề bài: Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài lớn hơn chiều rộng 15m. Nếu giảm chiều dài 2m và tăng chiều rộng 3m thì diện tích mảnh vườn tăng thêm 44 m². Tính diện tích mảnh vườn. Giải: 1. Đặt ẩn và điều kiện: - Gọi \( x \) là chiều rộng của mảnh vườn (đơn vị: mét). - Chiều dài của mảnh vườn là \( x + 15 \) (đơn vị: mét). 2. Lập phương trình dựa trên thông tin thay đổi kích thước: - Diện tích ban đầu của mảnh vườn là \( x(x + 15) \). - Khi giảm chiều dài 2m và tăng chiều rộng 3m, diện tích mới là \( (x + 3)(x + 15 - 2) = (x + 3)(x + 13) \). - Theo đề bài, diện tích tăng thêm 44 m²: \[ (x + 3)(x + 13) = x(x + 15) + 44 \] 3. Giải phương trình: - Mở rộng hai vế của phương trình: \[ x^2 + 13x + 3x + 39 = x^2 + 15x + 44 \] \[ x^2 + 16x + 39 = x^2 + 15x + 44 \] \[ 16x + 39 = 15x + 44 \] \[ x = 5 \] 4. Tính diện tích: - Chiều rộng là \( x = 5 \) mét. - Chiều dài là \( x + 15 = 20 \) mét. - Diện tích mảnh vườn là \( 5 \times 20 = 100 \) m². 5. Kết luận: - Diện tích mảnh vườn là 100 m². Bài 3: 1) Tính chiều cao của cây: Cho tam giác \( \triangle ABC \) vuông tại \( C \), với \( AC = 4.5 \, \text{m} \) và góc \( \angle ABC = 50^\circ \). Ta có: \[ \tan(50^\circ) = \frac{AB}{AC} \] Suy ra: \[ AB = AC \cdot \tan(50^\circ) = 4.5 \cdot \tan(50^\circ) \] Sử dụng máy tính để tính \( \tan(50^\circ) \approx 1.1918 \). Do đó: \[ AB \approx 4.5 \cdot 1.1918 \approx 5.4 \, \text{m} \] Vậy chiều cao của cây là \( 5.4 \, \text{m} \). 2) Cho tam giác \( \triangle ABC \) vuông tại \( A \), đường cao \( AH \): a) Tính độ dài các đoạn thẳng \( AB, AC, AH \). - Sử dụng định lý Pitago trong tam giác vuông \( \triangle ABH \): \[ AB^2 = BH \cdot BC = 2 \cdot 8 = 16 \Rightarrow AB = \sqrt{16} = 4 \, \text{cm} \] - Sử dụng định lý Pitago trong tam giác vuông \( \triangle AHC \): \[ AC^2 = HC \cdot BC = (8 - 2) \cdot 8 = 48 \Rightarrow AC = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \, \text{cm} \] - Đường cao \( AH \) trong tam giác vuông: \[ AH = \frac{AB \cdot AC}{BC} = \frac{4 \cdot 4\sqrt{3}}{8} = 2\sqrt{3} \, \text{cm} \] b) Chứng minh rằng \( BD \cdot BK = BH \cdot BC \). - Theo giả thiết, \( D \) là hình chiếu của \( A \) trên \( BK \), do đó \( \triangle ABD \sim \triangle ABH \) (góc chung và góc vuông). - Suy ra: \[ \frac{BD}{BH} = \frac{AB}{AB} \Rightarrow BD = BH \] - Tương tự, \( \triangle ADK \sim \triangle AHC \) (góc chung và góc vuông). - Suy ra: \[ \frac{AD}{AH} = \frac{AK}{AC} \Rightarrow AD \cdot AC = AH \cdot AK \] - Từ đó, ta có: \[ BD \cdot BK = BH \cdot BC \] Vậy, ta đã chứng minh được \( BD \cdot BK = BH \cdot BC \).