Giup minhhhhgghh

Câu 1: a) Có một số nguyên không chia hết cho chính nó. - Đặt \( n \) là số nguyên. - Điều kiện: \( n \neq 0 \) (vì số 0 không thể chia hết cho chính nó). - Ta có \( n \) không chia hết cho chính nó nếu \( n \) không phải là 1 hoặc -1. - Ví dụ: Số 2 không chia hết cho chính nó. - Mệnh đề: \( \exists n \in \mathbb{Z}, n \neq 0 \) và \( n \) không chia hết cho chính nó. - Biểu diễn: \( \exists n \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}, n \) không chia hết cho chính nó. b) Có một số thực mà bình phương của nó cộng với 1 bằng 0. - Đặt \( x \) là số thực. - Ta có \( x^2 + 1 = 0 \). - Giải phương trình: \( x^2 = -1 \). - Vì \( x^2 \geq 0 \) với mọi \( x \in \mathbb{R} \), nên không tồn tại số thực nào thỏa mãn \( x^2 = -1 \). - Mệnh đề: Không tồn tại số thực nào mà bình phương của nó cộng với 1 bằng 0. - Biểu diễn: \( \nexists x \in \mathbb{R}, x^2 + 1 = 0 \). c) Mọi số nguyên dương đều lớn hơn nghịch đảo của nó. - Đặt \( n \) là số nguyên dương. - Điều kiện: \( n > 0 \). - Ta có \( n > \frac{1}{n} \). - Chứng minh: \( n > \frac{1}{n} \Leftrightarrow n^2 > 1 \Leftrightarrow n > 1 \) hoặc \( n < -1 \). Nhưng vì \( n > 0 \), nên \( n > 1 \). - Ví dụ: Số 2 lớn hơn nghịch đảo của nó (\( 2 > \frac{1}{2} \)). - Mệnh đề: Mọi số nguyên dương đều lớn hơn nghịch đảo của nó. - Biểu diễn: \( \forall n \in \mathbb{Z}^+, n > \frac{1}{n} \). d) Mọi số thực đều lớn hơn số đối của nó. - Đặt \( x \) là số thực. - Ta có \( x > -x \). - Chứng minh: \( x > -x \Leftrightarrow 2x > 0 \Leftrightarrow x > 0 \). - Nếu \( x = 0 \), thì \( x = -x \). - Nếu \( x < 0 \), thì \( x < -x \). - Mệnh đề: Mọi số thực đều lớn hơn số đối của nó. - Biểu diễn: \( \forall x \in \mathbb{R}, x > -x \). Tóm lại: - a) \( \exists n \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}, n \) không chia hết cho chính nó. - b) \( \nexists x \in \mathbb{R}, x^2 + 1 = 0 \). - c) \( \forall n \in \mathbb{Z}^+, n > \frac{1}{n} \). - d) \( \forall x \in \mathbb{R}, x > -x \). Câu 2: a) Mệnh đề phủ định của mệnh đề $\forall x\in\mathbb{R},~x\ne2x-2$ là $\exists x\in\mathbb{R},~x=2x-2$. Mệnh đề này sai vì $x=2x-2$ suy ra $x=2$, nhưng $2\ne2(2)-2$ nên không tồn tại $x$ nào thỏa mãn. b) Mệnh đề phủ định của mệnh đề $\forall x\in\mathbb{R},x^2\leq2x-1$ là $\exists x\in\mathbb{R},x^2>2x-1$. Mệnh đề này đúng vì $x^2>2x-1$ suy ra $x^2-2x+1>0$ suy ra $(x-1)^2>0$ suy ra $x\ne1$. Vậy tồn tại $x$ khác 1 thỏa mãn. c) Mệnh đề phủ định của mệnh đề $\exists x\in\mathbb{R},~x+\frac1x\geq2$ là $\forall x\in\mathbb{R},~x+\frac1x< 2$. Mệnh đề này sai vì $x+\frac1x\geq2$ suy ra $x^2+1\geq2x$ suy ra $x^2-2x+1\geq0$ suy ra $(x-1)^2\geq0$. Vậy tồn tại $x$ thỏa mãn. d) Mệnh đề phủ định của mệnh đề $\exists x\in\mathbb{R},x^2-x+1< 0$ là $\forall x\in\mathbb{R},x^2-x+1\geq0$. Mệnh đề này đúng vì $x^2-x+1=x^2-x+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=(x-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}\geq\frac{3}{4}>0$. Câu 3: a) Mệnh đề phủ định: \( \exists n \in \mathbb{N}, n(n+1) \) không chia hết cho 2. Mệnh đề này sai vì \( n(n+1) \) luôn chia hết cho 2 do trong hai số liên tiếp luôn có một số chẵn. b) Mệnh đề phủ định: \( \exists x \in \mathbb{R}, x^2 \leq x \). Mệnh đề này đúng vì có thể tìm thấy các giá trị \( x \) thỏa mãn \( x^2 \leq x \), ví dụ \( x = 0 \) hoặc \( x = 1 \). c) Mệnh đề phủ định: \( \forall x \in \mathbb{R}, |x| \leq x \). Mệnh đề này sai vì \( |x| \geq x \) luôn đúng, không có trường hợp nào \( |x| \leq x \) ngoại trừ khi \( x \geq 0 \). d) Mệnh đề phủ định: \( \forall x \in \mathbb{Q}, x^2 - x - 1 \neq 0 \). Mệnh đề này đúng vì phương trình \( x^2 - x - 1 = 0 \) không có nghiệm hữu tỉ. Nghiệm của phương trình này là \( x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} \), nhưng \( \sqrt{5} \) không phải là số hữu tỉ. Câu 4: Để giải quyết các câu hỏi liên quan đến biểu đồ Ven, ta thực hiện như sau: a) Chỉ ra các phần tử của tập hợp A: Quan sát biểu đồ Ven, các phần tử nằm trong vùng của tập hợp A là: \( \{1, 2, 3, 4\} \). b) Tính \( m(A \cup B) \): Tập hợp \( A \cup B \) bao gồm tất cả các phần tử thuộc A hoặc B. Quan sát biểu đồ, ta có: \( A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \). Số phần tử của \( A \cup B \) là \( m(A \cup B) = 6 \). c) Chỉ ra các phần tử thuộc tập hợp A mà không thuộc tập hợp B: Các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B là các phần tử chỉ nằm trong vùng của A mà không giao với B. Quan sát biểu đồ, ta có: \( \{1, 2\} \). d) Chỉ ra các phần tử thuộc tập hợp B mà không thuộc tập hợp A: Các phần tử thuộc B nhưng không thuộc A là các phần tử chỉ nằm trong vùng của B mà không giao với A. Quan sát biểu đồ, ta có: \( \{5, 6\} \). e) Chỉ ra các tập hợp con của tập hợp A và tìm số tập con của \( A \cup B \): - Các tập hợp con của A là tất cả các tập hợp có thể tạo ra từ các phần tử của A. Tập hợp A có 4 phần tử, do đó số tập con của A là \( 2^4 = 16 \). - Số tập con của \( A \cup B \) là \( 2^6 = 64 \) vì \( A \cup B \) có 6 phần tử. Vậy, ta đã giải quyết xong các yêu cầu của bài toán. Câu 5: a) Tập hợp A là đoạn [3;9] bỏ đi hai điểm -2 và 7. Vì -2 không nằm trong đoạn [3;9], nên ta chỉ cần bỏ đi điểm 7. Do đó, tập hợp A là: \[ A = [3; 9] \setminus \{7\} \] Biểu diễn trên trục số, ta có đoạn từ 3 đến 9, nhưng không bao gồm điểm 7. b) Tập hợp E là giao của hai khoảng (-1; +∞) và (-4; 9). Giao của hai khoảng này là khoảng từ -1 đến 9, không bao gồm các điểm đầu và cuối. Do đó, tập hợp E là: \[ E = (-1; 9) \] Biểu diễn trên trục số, ta có khoảng từ -1 đến 9, không bao gồm các điểm -1 và 9. c) Tập hợp C là hợp của hai đoạn [1;5] và [4;+∞). Hợp của hai đoạn này là đoạn từ 1 đến +∞, vì đoạn [4;+∞) đã bao gồm phần còn lại của đoạn [1;5]. Do đó, tập hợp C là: \[ C = [1; +\infty) \] Biểu diễn trên trục số, ta có đoạn từ 1 đến +∞, bao gồm điểm 1. d) Tập hợp D là phần bù của khoảng (-1; +∞) trong tập hợp số thực ℝ. Phần bù của khoảng này là khoảng từ -∞ đến -1, bao gồm điểm -1. Do đó, tập hợp D là: \[ D = (-\infty; -1] \] Biểu diễn trên trục số, ta có khoảng từ -∞ đến -1, bao gồm điểm -1. Tóm lại, các tập hợp đã cho biểu diễn trên trục số như sau: a) \( A = [3; 9] \setminus \{7\} \) b) \( E = (-1; 9) \) c) \( C = [1; +\infty) \) d) \( D = (-\infty; -1] \) Câu 6: Để giải quyết các bài toán về tập hợp, chúng ta cần xác định các phần tử của từng tập hợp và sau đó thực hiện các phép toán tập hợp như giao, hợp, hiệu. Dưới đây là lời giải chi tiết cho từng trường hợp: a) \( A = \{a; b; c; d\},~B = \{a; c; e\} \) 1. Giao của hai tập hợp \( A \cap B \): - Giao của hai tập hợp là tập hợp các phần tử chung của cả hai tập hợp. - \( A \cap B = \{a; c\} \). 2. Hợp của hai tập hợp \( A \cup B \): - Hợp của hai tập hợp là tập hợp các phần tử thuộc ít nhất một trong hai tập hợp. - \( A \cup B = \{a; b; c; d; e\} \). 3. Hiệu của hai tập hợp \( A \setminus B \): - Hiệu của hai tập hợp là tập hợp các phần tử thuộc tập hợp thứ nhất nhưng không thuộc tập hợp thứ hai. - \( A \setminus B = \{b; d\} \). b) \( A = \{x|x^2-5x-6=0\},~B = \{x|x^2=1\} \) 1. Xác định các phần tử của \( A \): - Giải phương trình \( x^2 - 5x - 6 = 0 \). - Phương trình có nghiệm: \( (x - 6)(x + 1) = 0 \) nên \( x = 6 \) hoặc \( x = -1 \). - Vậy \( A = \{6; -1\} \). 2. Xác định các phần tử của \( B \): - Giải phương trình \( x^2 = 1 \). - Phương trình có nghiệm: \( x = 1 \) hoặc \( x = -1 \). - Vậy \( B = \{1; -1\} \). 3. Giao của hai tập hợp \( A \cap B \): - \( A \cap B = \{-1\} \). 4. Hợp của hai tập hợp \( A \cup B \): - \( A \cup B = \{6; -1; 1\} \). 5. Hiệu của hai tập hợp \( A \setminus B \): - \( A \setminus B = \{6\} \). c) \( A = \{x \in \mathbb{N}|x \) là số lẻ, \( x < 8\},~B = \{x \in \mathbb{N}|x \) là các ước của 12\} \) 1. Xác định các phần tử của \( A \): - Các số lẻ nhỏ hơn 8 là: 1, 3, 5, 7. - Vậy \( A = \{1; 3; 5; 7\} \). 2. Xác định các phần tử của \( B \): - Các ước của 12 là: 1, 2, 3, 4, 6, 12. - Vậy \( B = \{1; 2; 3; 4; 6; 12\} \). 3. Giao của hai tập hợp \( A \cap B \): - \( A \cap B = \{1; 3\} \). 4. Hợp của hai tập hợp \( A \cup B \): - \( A \cup B = \{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 12\} \). 5. Hiệu của hai tập hợp \( A \setminus B \): - \( A \setminus B = \{5; 7\} \). Trên đây là lời giải chi tiết cho từng trường hợp của bài toán. Câu 7: Để xác định các tập hợp yêu cầu, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau: Bước 1: Xác định tập hợp \( A \cup B \) Tập hợp \( A \cup B \) là tập hợp chứa tất cả các phần tử thuộc ít nhất một trong hai tập hợp \( A \) hoặc \( B \). \[ A = \{1, 3, 5, 7, 9\} \] \[ B = \{1, 2, 3, 4\} \] Kết hợp các phần tử của \( A \) và \( B \): \[ A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 7, 9\} \] Bước 2: Xác định tập hợp \( (A \cup B) \cap C \) Tập hợp \( (A \cup B) \cap C \) là tập hợp chứa tất cả các phần tử chung của \( A \cup B \) và \( C \). \[ C = \{3, 4, 5, 6\} \] So sánh các phần tử của \( A \cup B \) và \( C \): \[ (A \cup B) \cap C = \{3, 4, 5\} \] Kết luận: a) Tập hợp \( (A \cup B) \cap C \) là: \[ (A \cup B) \cap C = \{3, 4, 5\} \]