Lập phương trình chính tắc của elip (E) có một tiêu điểm là F2 (5;0) và đi qua điểm M (0;3)

Question

Timi · Accepted Answer

Để lập phương trình chính tắc của elip (E), ta cần xác định các thông số cơ bản của elip, bao gồm tâm, độ dài trục lớn, độ dài trục nhỏ và tiêu cự.

1. Xác định tâm của elip:
   - Vì tiêu điểm $ F_2(5;0) $ nằm trên trục hoành, nên elip có dạng chính tắc là $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ với tâm $ O(0;0) $.

2. Xác định tiêu cự $ c $:
   - Tiêu điểm $ F_2(5;0) $ có tọa độ $ (c;0) $, do đó $ c = 5 $.

3. Mối quan hệ giữa $ a $, $ b $, và $ c $:
   - Theo định nghĩa của elip, ta có $ c^2 = a^2 - b^2 $.
   - Thay $ c = 5 $ vào, ta được $ 25 = a^2 - b^2 $.

4. Sử dụng điểm M(0;3) thuộc elip:
   - Điểm $ M(0;3) $ thuộc elip, nên thỏa mãn phương trình $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$.
   - Thay tọa độ $ M(0;3) $ vào phương trình, ta có:
     $$
     \frac{0^2}{a^2} + \frac{3^2}{b^2} = 1 \Rightarrow \frac{9}{b^2} = 1 \Rightarrow b^2 = 9.
     $$

5. Tìm $ a^2 $:
   - Từ $ b^2 = 9 $ và $ a^2 - b^2 = 25 $, ta có:
     $$
     a^2 - 9 = 25 \Rightarrow a^2 = 34.
     $$

6. Phương trình chính tắc của elip:
   - Thay $ a^2 = 34 $ và $ b^2 = 9 $ vào phương trình chính tắc, ta được:
     $$
     \frac{x^2}{34} + \frac{y^2}{9} = 1.
     $$

Vậy phương trình chính tắc của elip (E) là $\frac{x^2}{34} + \frac{y^2}{9} = 1$.