Tính diện tích hình phẳng.

Câu 17: Để tìm diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường cong $xy + 4y = 16$ và đường thẳng $x + y = 6$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm giao điểm của hai đường. - Phương trình đường cong: $xy + 4y = 16$. - Phương trình đường thẳng: $x + y = 6$. Từ phương trình đường thẳng, ta có $x = 6 - y$. Thay vào phương trình đường cong: \[ (6 - y)y + 4y = 16 \] \[ 6y - y^2 + 4y = 16 \] \[ -y^2 + 10y = 16 \] \[ -y^2 + 10y - 16 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này: \[ y^2 - 10y + 16 = 0 \] Tính $\Delta = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \times 1 \times 16 = 100 - 64 = 36$. Phương trình có nghiệm: \[ y = \frac{10 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{10 \pm 6}{2} \] \[ y_1 = 8, \quad y_2 = 2 \] Với $y_1 = 8$, ta có $x_1 = 6 - 8 = -2$. Với $y_2 = 2$, ta có $x_2 = 6 - 2 = 4$. Vậy hai giao điểm là $(-2, 8)$ và $(4, 2)$. Bước 2: Tính diện tích hình phẳng. Diện tích hình phẳng được tính bằng tích phân: \[ A = \int_{y_1}^{y_2} (x_2 - x_1) \, dy \] Với $x_1 = 6 - y$ (từ đường thẳng $x + y = 6$) và $x_2 = \frac{16}{y} - 4$ (từ đường cong $xy + 4y = 16$). Diện tích: \[ A = \int_{2}^{8} \left( \frac{16}{y} - 4 - (6 - y) \right) \, dy \] \[ = \int_{2}^{8} \left( \frac{16}{y} - 4 - 6 + y \right) \, dy \] \[ = \int_{2}^{8} \left( \frac{16}{y} - 10 + y \right) \, dy \] Tính từng phần: \[ \int_{2}^{8} \frac{16}{y} \, dy = 16 \ln|y| \bigg|_{2}^{8} = 16 (\ln 8 - \ln 2) = 16 \ln 4 = 32 \ln 2 \] \[ \int_{2}^{8} (-10) \, dy = -10y \bigg|_{2}^{8} = -10(8 - 2) = -60 \] \[ \int_{2}^{8} y \, dy = \frac{y^2}{2} \bigg|_{2}^{8} = \frac{8^2}{2} - \frac{2^2}{2} = \frac{64}{2} - \frac{4}{2} = 32 - 2 = 30 \] Tổng hợp lại: \[ A = 32 \ln 2 - 60 + 30 = 32 \ln 2 - 30 \] Vậy diện tích hình phẳng là $32 \ln 2 - 30$. Đáp án đúng là $\textcircled{D}~32-30\log_e2.$