giải giúp vs ạ

Câu 3: Để hàm số \( y = x^3 - (2m-1)x^2 + (2-m)x + 2 \) đồng biến trên \(\mathbb{R}\), đạo hàm của nó phải không âm trên toàn bộ miền xác định. 1. Tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = 3x^2 - 2(2m-1)x + (2-m) \] 2. Để hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\), đạo hàm \( y' \geq 0 \) với mọi \( x \in \mathbb{R} \). Điều này xảy ra khi tam thức bậc hai \( 3x^2 - 2(2m-1)x + (2-m) \) không có nghiệm thực hoặc có nghiệm kép. 3. Xét biệt số của tam thức bậc hai: \[ \Delta = b^2 - 4ac = [ -2(2m-1) ]^2 - 4 \cdot 3 \cdot (2-m) \] \[ \Delta = 4(2m-1)^2 - 12(2-m) \] \[ \Delta = 4(4m^2 - 4m + 1) - 12(2-m) \] \[ \Delta = 16m^2 - 16m + 4 - 24 + 12m \] \[ \Delta = 16m^2 - 4m - 20 \] 4. Để tam thức bậc hai không có nghiệm thực hoặc có nghiệm kép, ta yêu cầu: \[ \Delta \leq 0 \] \[ 16m^2 - 4m - 20 \leq 0 \] 5. Giải bất phương trình bậc hai: \[ 16m^2 - 4m - 20 \leq 0 \] Tìm nghiệm của phương trình \( 16m^2 - 4m - 20 = 0 \): \[ m = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 16 \cdot (-20)}}{2 \cdot 16} \] \[ m = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 1280}}{32} \] \[ m = \frac{4 \pm \sqrt{1296}}{32} \] \[ m = \frac{4 \pm 36}{32} \] \[ m = \frac{40}{32} = \frac{5}{4} \quad \text{hoặc} \quad m = \frac{-32}{32} = -1 \] 6. Do đó, \( m \) nằm trong khoảng: \[ m \in \left[ -1, \frac{5}{4} \right] \] 7. So sánh với khoảng đã cho \( m \in \left[ a, \frac{b}{c} \right] \): \[ a = -1, \quad \frac{b}{c} = \frac{5}{4} \] 8. Tính giá trị biểu thức \( P \): \[ P = \frac{a^2 + b^2}{c} = \frac{(-1)^2 + 5^2}{4} = \frac{1 + 25}{4} = \frac{26}{4} = \frac{13}{2} \] Đáp án đúng là: \[ B.~P=\frac{13}{2} \] Câu 4: Để hàm số \( y = \frac{1}{3}(3 - m)x^3 - (m + 3)x^2 + (m + 2)x - 2024 \) đồng biến trên \(\mathbb{R}\), đạo hàm của nó phải không âm trên toàn bộ miền xác định. 1. Tính đạo hàm của \( y \): \[ y' = (3 - m)x^2 - 2(m + 3)x + (m + 2) \] 2. Để hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\), ta yêu cầu \( y' \geq 0 \) với mọi \( x \in \mathbb{R} \). Điều này xảy ra khi đa thức bậc hai \( (3 - m)x^2 - 2(m + 3)x + (m + 2) \) không có nghiệm thực hoặc có nghiệm kép và hệ số của \( x^2 \) dương. 3. Xét trường hợp \( 3 - m > 0 \) (tức là \( m < 3 \)): - Đa thức \( (3 - m)x^2 - 2(m + 3)x + (m + 2) \) không có nghiệm thực nếu biệt thức \( \Delta \leq 0 \). 4. Tính biệt thức \( \Delta \): \[ \Delta = b^2 - 4ac = [-2(m + 3)]^2 - 4(3 - m)(m + 2) \] \[ \Delta = 4(m + 3)^2 - 4(3 - m)(m + 2) \] \[ \Delta = 4[(m + 3)^2 - (3 - m)(m + 2)] \] \[ \Delta = 4[m^2 + 6m + 9 - (3m + 6 - m^2 - 2m)] \] \[ \Delta = 4[m^2 + 6m + 9 - 3m - 6 + m^2 + 2m] \] \[ \Delta = 4[2m^2 + 5m + 3] \] \[ \Delta = 8m^2 + 20m + 12 \] 5. Yêu cầu \( \Delta \leq 0 \): \[ 8m^2 + 20m + 12 \leq 0 \] Giải bất phương trình: \[ 8m^2 + 20m + 12 \leq 0 \] Tìm nghiệm của phương trình \( 8m^2 + 20m + 12 = 0 \): \[ m = \frac{-20 \pm \sqrt{400 - 384}}{16} \] \[ m = \frac{-20 \pm \sqrt{16}}{16} \] \[ m = \frac{-20 \pm 4}{16} \] \[ m = \frac{-16}{16} = -1 \quad \text{hoặc} \quad m = \frac{-24}{16} = -\frac{3}{2} \] 6. Do đó, \( m \in \left[-\frac{3}{2}, -1\right] \). 7. Kiểm tra giá trị \( P \): \[ P = \frac{a^2 + b^2 + c^2}{abc} \] Với \( a = -3 \), \( b = 2 \), \( c = -1 \): \[ P = \frac{(-3)^2 + 2^2 + (-1)^2}{(-3)(2)(-1)} \] \[ P = \frac{9 + 4 + 1}{6} \] \[ P = \frac{14}{6} = \frac{7}{3} \] Đáp án đúng là: \[ D.~P=\frac{7}{3}. \] Câu 5: Để hàm số \( y = -\frac{1}{3}x^3 - mx^2 + (2m - 3)x - m + 2 \) luôn nghịch biến trên \(\mathbb{R}\), đạo hàm của nó phải luôn âm trên \(\mathbb{R}\). Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = -x^2 - 2mx + (2m - 3). \] Bước 2: Để hàm số luôn nghịch biến, ta cần \( y' < 0 \) với mọi \( x \in \mathbb{R} \). Điều này xảy ra khi đồ thị của \( y' \) nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành, tức là \( y' \) phải có biệt thức \( \Delta \leq 0 \) và hệ số của \( x^2 \) âm. Bước 3: Tính biệt thức \( \Delta \) của \( y' \): \[ \Delta = (-2m)^2 - 4(-1)(2m - 3) = 4m^2 + 4(2m - 3) = 4m^2 + 8m - 12. \] Bước 4: Yêu cầu \( \Delta \leq 0 \): \[ 4m^2 + 8m - 12 \leq 0. \] Chia cả hai vế cho 4: \[ m^2 + 2m - 3 \leq 0. \] Bước 5: Giải bất phương trình bậc hai: \[ m^2 + 2m - 3 \leq 0. \] Phân tích thành nhân tử: \[ (m + 3)(m - 1) \leq 0. \] Bước 6: Xác định khoảng nghiệm của bất phương trình: \[ -3 \leq m \leq 1. \] Vậy, các giá trị thực của tham số \( m \) để hàm số luôn nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) là: \[ m \in [-3, 1]. \] Câu 6: Để hàm số \( y = \frac{x - m + 2}{x + 1} \) giảm trên các khoảng mà nó xác định, ta cần tìm các giá trị của tham số \( m \) sao cho đạo hàm của hàm số âm trên các khoảng đó. Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số. Hàm số \( y = \frac{x - m + 2}{x + 1} \) xác định khi mẫu số khác 0, tức là: \[ x + 1 \neq 0 \] \[ x \neq -1 \] Vậy tập xác định của hàm số là: \[ D = \mathbb{R} \setminus \{-1\} \] Bước 2: Tính đạo hàm của hàm số. Sử dụng công thức đạo hàm của phân thức: \[ y' = \frac{(x - m + 2)'(x + 1) - (x - m + 2)(x + 1)'}{(x + 1)^2} \] Tính đạo hàm từng phần: \[ (x - m + 2)' = 1 \] \[ (x + 1)' = 1 \] Thay vào công thức: \[ y' = \frac{1 \cdot (x + 1) - (x - m + 2) \cdot 1}{(x + 1)^2} \] \[ y' = \frac{x + 1 - (x - m + 2)}{(x + 1)^2} \] \[ y' = \frac{x + 1 - x + m - 2}{(x + 1)^2} \] \[ y' = \frac{m - 1}{(x + 1)^2} \] Bước 3: Xác định điều kiện để hàm số giảm. Hàm số giảm khi đạo hàm âm: \[ y' < 0 \] \[ \frac{m - 1}{(x + 1)^2} < 0 \] Do \((x + 1)^2 > 0\) với mọi \( x \neq -1 \), nên dấu của \( y' \) phụ thuộc vào tử số \( m - 1 \). Để \( y' < 0 \): \[ m - 1 < 0 \] \[ m < 1 \] Vậy, các giá trị thực của tham số \( m \) sao cho hàm số \( y = \frac{x - m + 2}{x + 1} \) giảm trên các khoảng mà nó xác định là: \[ m < 1 \] Câu 7: Để hàm số \( y = \frac{mx + 4}{x + m} \) giảm trên khoảng \( (-\infty; 1) \), ta cần đảm bảo rằng đạo hàm của nó âm trên khoảng này. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số \( y \). \[ y' = \frac{(mx + 4)'(x + m) - (mx + 4)(x + m)'}{(x + m)^2} \] \[ y' = \frac{m(x + m) - (mx + 4)}{(x + m)^2} \] \[ y' = \frac{mx + m^2 - mx - 4}{(x + m)^2} \] \[ y' = \frac{m^2 - 4}{(x + m)^2} \] Bước 2: Để hàm số giảm trên khoảng \( (-\infty; 1) \), đạo hàm \( y' \) phải âm trên khoảng này. \[ y' < 0 \] \[ \frac{m^2 - 4}{(x + m)^2} < 0 \] Do \( (x + m)^2 > 0 \) với mọi \( x \neq -m \), nên dấu của \( y' \) phụ thuộc vào tử số \( m^2 - 4 \). \[ m^2 - 4 < 0 \] \[ m^2 < 4 \] \[ -2 < m < 2 \] Bước 3: Kiểm tra điều kiện \( x \neq -m \). Hàm số không xác định tại \( x = -m \), do đó \( -m \) phải nằm ngoài khoảng \( (-\infty; 1) \). \[ -m \leq 1 \] \[ m \geq -1 \] Kết hợp các điều kiện trên, ta có: \[ -1 \leq m < 2 \] Vậy, các giá trị thực của tham số \( m \) để hàm số \( y = \frac{mx + 4}{x + m} \) giảm trên khoảng \( (-\infty; 1) \) là: \[ -1 \leq m < 2 \]