Tính giá trị $a + \beta$.

Câu 25: Để giải bài toán này, ta cần phân tích các điều kiện của hai tập hợp $P$ và $Q$, sau đó tìm giao điểm của chúng và tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức $|z-3+2i|$. Bước 1: Phân tích tập hợp $P$ Tập hợp $P$ được cho bởi điều kiện $|z + 2 - 3i| \leq 1$. Điều này biểu diễn một đường tròn trên mặt phẳng phức với tâm $C_1 = -2 + 3i$ và bán kính $R_1 = 1$. Bước 2: Phân tích tập hợp $Q$ Tập hợp $Q$ được cho bởi điều kiện $z(1+i) + \overline{z}(1-i) \leq -8$. Đặt $z = x + yi$ với $x, y \in \mathbb{R}$, ta có: \[ z(1+i) = (x + yi)(1+i) = (x - y) + (x + y)i \] \[ \overline{z}(1-i) = (x - yi)(1-i) = (x + y) + (y - x)i \] Cộng hai biểu thức trên, ta được: \[ z(1+i) + \overline{z}(1-i) = 2x + 2yi \] Điều kiện $2x \leq -8$ suy ra $x \leq -4$. Đây là một nửa mặt phẳng trên mặt phẳng phức. Bước 3: Tìm giao điểm $P \cap Q$ Giao điểm của $P$ và $Q$ là tập hợp các điểm $z = x + yi$ thỏa mãn cả hai điều kiện: $|z + 2 - 3i| \leq 1$ và $x \leq -4$. Bước 4: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $|z - 3 + 2i|$ Biểu thức $|z - 3 + 2i|$ là khoảng cách từ điểm $z$ đến điểm $3 - 2i$. Ta cần tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của khoảng cách này khi $z$ thuộc $P \cap Q$. - Tâm của đường tròn $P$ là $-2 + 3i$ và điểm $3 - 2i$ có khoảng cách là $|-2 + 3i - (3 - 2i)| = |-5 + 5i| = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$. - Bán kính của đường tròn $P$ là $1$, do đó khoảng cách từ $3 - 2i$ đến biên của $P$ là $5\sqrt{2} \pm 1$. Vì $x \leq -4$, ta chỉ xét phần của đường tròn nằm trong nửa mặt phẳng này. Điểm gần nhất và xa nhất trên biên của $P$ từ $3 - 2i$ sẽ là $5\sqrt{2} - 1$ và $5\sqrt{2} + 1$. Bước 5: Tính $|z_1|^2 + 2|z_2|^2$ - Với $z_1$ là điểm đạt giá trị lớn nhất, $|z_1 - 3 + 2i| = 5\sqrt{2} + 1$. - Với $z_2$ là điểm đạt giá trị nhỏ nhất, $|z_2 - 3 + 2i| = 5\sqrt{2} - 1$. Tính $|z_1|^2$ và $|z_2|^2$: - $|z_1|^2 = (5\sqrt{2} + 1)^2 = 50 + 10\sqrt{2} + 1 = 51 + 10\sqrt{2}$. - $|z_2|^2 = (5\sqrt{2} - 1)^2 = 50 - 10\sqrt{2} + 1 = 51 - 10\sqrt{2}$. Tính $|z_1|^2 + 2|z_2|^2$: \[ |z_1|^2 + 2|z_2|^2 = (51 + 10\sqrt{2}) + 2(51 - 10\sqrt{2}) = 51 + 10\sqrt{2} + 102 - 20\sqrt{2} = 153 - 10\sqrt{2} \] So sánh với $\alpha + \beta\sqrt{2}$, ta có $\alpha = 153$ và $\beta = -10$. Do đó, $\alpha + \beta = 153 - 10 = 143$. Vậy, giá trị của $\alpha + \beta$ là $\boxed{143}$.