Giúp e với ạ Ví dụ 14. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số,$y=\sin^3x-\cos2x+\sin x+2.$ Khi đó giá trị của biểu thức $M+m$ bằng:

Question

Vu Nguyen · Accepted Answer

Ta có hàm số:

$y = \sin^3x - \cos(2x) + \sin x + 2$

$y = \sin^3x - (1 - 2 \cdot \sin^2x) + \sin x + 2$

$y = \sin^3x + 2 \cdot \sin^2x + \sin x + 1$

Đặt $t = \sin x$, với điều kiện $t \in [-1, 1]$

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất (M) và giá trị nhỏ nhất (m) của hàm số $f(t) = t^3 + 2 \cdot t^2 + t + 1$ trên đoạn $[-1, 1]$

Xét hàm số $f(t)$ trên đoạn $[-1, 1]$:

$f'(t) = 3 \cdot t^2 + 4 \cdot t + 1$

$f'(t) = 0 \Leftrightarrow 3 \cdot t^2 + 4 \cdot t + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = -1 \in [-1, 1] \ t = -\frac{1}{3} \in [-1, 1] \end{array} ight.$

$f(-1) = (-1)^3 + 2 \cdot (-1)^2 + (-1) + 1 = 1$

$f(1) = 1^3 + 2 \cdot 1^2 + 1 + 1 = 5$

$f(-\frac{1}{3}) = (-\frac{1}{3})^3 + 2 \cdot (-\frac{1}{3})^2 - \frac{1}{3} + 1 = -\frac{1}{27} + \frac{2}{9} - \frac{1}{3} + 1 = \frac{23}{27}$

GTLN : $M = \max\{1, 5, \frac{23}{27}\} = 5$

GTNN : $m = \min\{1, 5, \frac{23}{27}\} = \frac{23}{27}$

Vậy, giá trị của biểu thức $M + m$ là:

$M + m = 5 + \frac{23}{27} = \frac{158}{27}$.

Timi · Answer

Ví dụ 14:
Ta có $ y = \sin^3 x - \cos 2x + \sin x + 2 $.

Sử dụng công thức $ \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x $, ta có:
$$ y = \sin^3 x - (1 - 2\sin^2 x) + \sin x + 2 $$
$$ y = \sin^3 x + 2\sin^2 x + \sin x + 1 $$

Đặt $ t = \sin x $ với $ -1 \leq t \leq 1 $. Ta có:
$$ y = t^3 + 2t^2 + t + 1 $$

Xét hàm số $ f(t) = t^3 + 2t^2 + t + 1 $ trên đoạn $[-1, 1]$:
- $ f&#x27;(t) = 3t^2 + 4t + 1 $
- Giải $ f&#x27;(t) = 0 $:
  $$ 3t^2 + 4t + 1 = 0 $$
  $$ t = -1 \text{ hoặc } t = -\frac{1}{3} $$

Tính giá trị của $ f(t) $ tại các điểm $ t = -1 $, $ t = -\frac{1}{3} $, và $ t = 1 $:
- $ f(-1) = (-1)^3 + 2(-1)^2 + (-1) + 1 = -1 + 2 - 1 + 1 = 1 $
- $ f\left( -\frac{1}{3} \right) = \left( -\frac{1}{3} \right)^3 + 2\left( -\frac{1}{3} \right)^2 + \left( -\frac{1}{3} \right) + 1 = -\frac{1}{27} + \frac{2}{9} - \frac{1}{3} + 1 = \frac{23}{27} $
- $ f(1) = 1^3 + 2(1)^2 + 1 + 1 = 1 + 2 + 1 + 1 = 5 $

Do đó, giá trị lớn nhất $ M $ và giá trị nhỏ nhất $ m $ của hàm số là:
- $ M = 5 $
- $ m = 1 $

Vậy giá trị của biểu thức $ M + m $ là:
$$ M + m = 5 + 1 = 6 $$