Giúp monh ạ Bài 9. Cho hàm số $y=x^3+(m^2+1)x+m+1.$ Tìm tham số m sao cho min $y=5.$,[0;1]

Question

Timi · Accepted Answer

Bài 9:
Để tìm tham số $ m $ sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số $ y = x^3 + (m^2 + 1)x + m + 1 $ trên đoạn $[0, 1]$ bằng 5, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm đạo hàm của hàm số:
   $$
   y&#x27; = 3x^2 + m^2 + 1
   $$

2. Xác định điểm cực trị:
   Đặt $ y&#x27; = 0 $:
   $$
   3x^2 + m^2 + 1 = 0
   $$
   Vì $ 3x^2 \geq 0 $ và $ m^2 + 1 > 0 $ nên $ 3x^2 + m^2 + 1 > 0 $ luôn đúng. Do đó, hàm số không có điểm cực trị trong khoảng $(0, 1)$.

3. So sánh giá trị của hàm số tại các đầu mút của đoạn $[0, 1]$:
   - Tại $ x = 0 $:
     $$
     y(0) = 0^3 + (m^2 + 1) \cdot 0 + m + 1 = m + 1
     $$
   - Tại $ x = 1 $:
     $$
     y(1) = 1^3 + (m^2 + 1) \cdot 1 + m + 1 = 1 + m^2 + 1 + m + 1 = m^2 + m + 3
     $$

4. Xác định giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[0, 1]$:
   Vì hàm số không có điểm cực trị trong khoảng $(0, 1)$, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[0, 1]$ sẽ là giá trị nhỏ hơn giữa $ y(0) $ và $ y(1) $.

Ta có:
   $$
   y(0) = m + 1
   $$
   $$
   y(1) = m^2 + m + 3
   $$

Để $ \min y = 5 $ trên đoạn $[0, 1]$, ta cần:
   $$
   \min(m + 1, m^2 + m + 3) = 5
   $$

5. Giải các phương trình để tìm $ m $:
   - Nếu $ m + 1 = 5 $:
     $$
     m = 4
     $$
     Kiểm tra $ y(1) $ khi $ m = 4 $:
     $$
     y(1) = 4^2 + 4 + 3 = 16 + 4 + 3 = 23 \neq 5
     $$
     Vậy $ m = 4 $ không thỏa mãn.

- Nếu $ m^2 + m + 3 = 5 $:
     $$
     m^2 + m + 3 = 5
     $$
     $$
     m^2 + m - 2 = 0
     $$
     Giải phương trình bậc hai:
     $$
     m = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}
     $$
     $$
     m = 1 \quad \text{hoặc} \quad m = -2
     $$

Kiểm tra $ y(0) $ khi $ m = 1 $:
     $$
     y(0) = 1 + 1 = 2 \neq 5
     $$
     Vậy $ m = 1 $ không thỏa mãn.

Kiểm tra $ y(0) $ khi $ m = -2 $:
     $$
     y(0) = -2 + 1 = -1 \neq 5
     $$
     Vậy $ m = -2 $ không thỏa mãn.

Do đó, không có giá trị nào của $ m $ thỏa mãn điều kiện $ \min y = 5 $ trên đoạn $[0, 1]$.