help meeeeee

Câu 22: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định miền xác định của hàm số \( f(x) = \sqrt{2x + 14} + \sqrt{5 - x} \). 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trong miền xác định đó. Bước 1: Xác định miền xác định của hàm số Hàm số \( f(x) = \sqrt{2x + 14} + \sqrt{5 - x} \) có hai căn thức, do đó cần đảm bảo rằng các biểu thức dưới dấu căn đều không âm. - Điều kiện cho \( \sqrt{2x + 14} \): \[ 2x + 14 \geq 0 \implies x \geq -7 \] - Điều kiện cho \( \sqrt{5 - x} \): \[ 5 - x \geq 0 \implies x \leq 5 \] Kết hợp cả hai điều kiện trên, miền xác định của hàm số là: \[ -7 \leq x \leq 5 \] Bước 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số, chúng ta sẽ xét đạo hàm của \( f(x) \). Tính đạo hàm của \( f(x) \): \[ f(x) = \sqrt{2x + 14} + \sqrt{5 - x} \] Sử dụng công thức đạo hàm của căn bậc hai: \[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{2x + 14} \right) + \frac{d}{dx} \left( \sqrt{5 - x} \right) \] \[ f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{2x + 14}} \cdot 2 + \frac{1}{2\sqrt{5 - x}} \cdot (-1) \] \[ f'(x) = \frac{1}{\sqrt{2x + 14}} - \frac{1}{2\sqrt{5 - x}} \] Tìm điểm dừng: Đặt \( f'(x) = 0 \): \[ \frac{1}{\sqrt{2x + 14}} - \frac{1}{2\sqrt{5 - x}} = 0 \] \[ \frac{1}{\sqrt{2x + 14}} = \frac{1}{2\sqrt{5 - x}} \] \[ 2\sqrt{5 - x} = \sqrt{2x + 14} \] Bình phương cả hai vế: \[ 4(5 - x) = 2x + 14 \] \[ 20 - 4x = 2x + 14 \] \[ 20 - 14 = 2x + 4x \] \[ 6 = 6x \] \[ x = 1 \] Kiểm tra giá trị của hàm số tại các điểm biên và điểm dừng: - Tại \( x = -7 \): \[ f(-7) = \sqrt{2(-7) + 14} + \sqrt{5 - (-7)} = \sqrt{0} + \sqrt{12} = 0 + 2\sqrt{3} = 2\sqrt{3} \] - Tại \( x = 5 \): \[ f(5) = \sqrt{2(5) + 14} + \sqrt{5 - 5} = \sqrt{24} + \sqrt{0} = 2\sqrt{6} + 0 = 2\sqrt{6} \] - Tại \( x = 1 \): \[ f(1) = \sqrt{2(1) + 14} + \sqrt{5 - 1} = \sqrt{16} + \sqrt{4} = 4 + 2 = 6 \] Kết luận: - Giá trị lớn nhất của hàm số là \( 2\sqrt{6} \), đạt được khi \( x = 5 \). - Giá trị nhỏ nhất của hàm số là \( 2\sqrt{3} \), đạt được khi \( x = -7 \). Do đó, mệnh đề đúng là: \[ \boxed{\text{B. Hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng } 2\sqrt{6}.} \] Câu 23: Ta có: \[ y = 2\cos x - \frac{4}{3}\cos^3 x \] Đặt \( t = \cos x \). Vì \( x \in [0; \pi] \), nên \( t \in [-1; 1] \). Hàm số trở thành: \[ y = 2t - \frac{4}{3}t^3 \] Xét hàm số \( f(t) = 2t - \frac{4}{3}t^3 \) trên đoạn \([-1; 1]\). Tính đạo hàm của \( f(t) \): \[ f'(t) = 2 - 4t^2 \] Giải phương trình \( f'(t) = 0 \): \[ 2 - 4t^2 = 0 \] \[ 4t^2 = 2 \] \[ t^2 = \frac{1}{2} \] \[ t = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \] Do đó, ta có các điểm cực trị cần kiểm tra là \( t = -1 \), \( t = 1 \), \( t = \frac{\sqrt{2}}{2} \), và \( t = -\frac{\sqrt{2}}{2} \). Tính giá trị của \( f(t) \) tại các điểm này: \[ f(-1) = 2(-1) - \frac{4}{3}(-1)^3 = -2 + \frac{4}{3} = -\frac{2}{3} \] \[ f(1) = 2(1) - \frac{4}{3}(1)^3 = 2 - \frac{4}{3} = \frac{2}{3} \] \[ f\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - \frac{4}{3}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^3 = \sqrt{2} - \frac{4}{3} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{8} = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \] \[ f\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 2\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - \frac{4}{3}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^3 = -\sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{3} = -\frac{2\sqrt{2}}{3} \] So sánh các giá trị trên, ta thấy giá trị lớn nhất của hàm số \( f(t) \) trên đoạn \([-1; 1]\) là: \[ \max_{[-1; 1]} f(t) = \frac{2\sqrt{2}}{3} \] Vậy giá trị lớn nhất của hàm số \( y = 2\cos x - \frac{4}{3}\cos^3 x \) trên đoạn \([0; \pi]\) là: \[ \boxed{\max_{[0; \pi]} y = \frac{2\sqrt{2}}{3}} \] Câu 24: Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( y = \sqrt{x-3} + \sqrt{5-x} \), chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Xác định miền xác định (ĐKXĐ): - Điều kiện để \( \sqrt{x-3} \) có nghĩa là \( x - 3 \geq 0 \), tức là \( x \geq 3 \). - Điều kiện để \( \sqrt{5-x} \) có nghĩa là \( 5 - x \geq 0 \), tức là \( x \leq 5 \). Kết hợp hai điều kiện trên, ta có miền xác định của hàm số là: \[ 3 \leq x \leq 5 \] 2. Tìm giá trị lớn nhất trong miền xác định: - Ta sẽ kiểm tra giá trị của hàm số tại các điểm biên của miền xác định, tức là tại \( x = 3 \) và \( x = 5 \). Tại \( x = 3 \): \[ y = \sqrt{3-3} + \sqrt{5-3} = \sqrt{0} + \sqrt{2} = 0 + \sqrt{2} = \sqrt{2} \] Tại \( x = 5 \): \[ y = \sqrt{5-3} + \sqrt{5-5} = \sqrt{2} + \sqrt{0} = \sqrt{2} + 0 = \sqrt{2} \] - Ta cũng cần kiểm tra giá trị của hàm số tại trung điểm của khoảng \([3, 5]\), tức là tại \( x = 4 \). Tại \( x = 4 \): \[ y = \sqrt{4-3} + \sqrt{5-4} = \sqrt{1} + \sqrt{1} = 1 + 1 = 2 \] 3. So sánh các giá trị đã tính: - Tại \( x = 3 \) và \( x = 5 \), giá trị của hàm số là \( \sqrt{2} \). - Tại \( x = 4 \), giá trị của hàm số là \( 2 \). Vì \( 2 > \sqrt{2} \), nên giá trị lớn nhất của hàm số \( y = \sqrt{x-3} + \sqrt{5-x} \) là \( 2 \). Do đó, giá trị lớn nhất của hàm số là: \[ \boxed{2} \] Câu 25: Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số \( y = \frac{x^2 + x + 3}{x - 2} \) trên đoạn \([-2, 1]\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y = \frac{x^2 + x + 3}{x - 2} \] Áp dụng công thức đạo hàm của phân thức: \[ y' = \frac{(2x + 1)(x - 2) - (x^2 + x + 3)}{(x - 2)^2} \] \[ y' = \frac{2x^2 - 4x + x - 2 - x^2 - x - 3}{(x - 2)^2} \] \[ y' = \frac{x^2 - 4x - 5}{(x - 2)^2} \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \) để tìm các điểm tới hạn: \[ \frac{x^2 - 4x - 5}{(x - 2)^2} = 0 \] \[ x^2 - 4x - 5 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{4 \pm 6}{2} \] \[ x = 5 \quad \text{hoặc} \quad x = -1 \] 3. Kiểm tra các điểm tới hạn và các đầu mút của đoạn \([-2, 1]\): - Điểm tới hạn \( x = -1 \) nằm trong đoạn \([-2, 1]\). - Các đầu mút \( x = -2 \) và \( x = 1 \). 4. Tính giá trị của hàm số tại các điểm này: \[ y(-2) = \frac{(-2)^2 + (-2) + 3}{-2 - 2} = \frac{4 - 2 + 3}{-4} = \frac{5}{-4} = -\frac{5}{4} \] \[ y(-1) = \frac{(-1)^2 + (-1) + 3}{-1 - 2} = \frac{1 - 1 + 3}{-3} = \frac{3}{-3} = -1 \] \[ y(1) = \frac{1^2 + 1 + 3}{1 - 2} = \frac{1 + 1 + 3}{-1} = \frac{5}{-1} = -5 \] 5. Xác định giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất: - Giá trị lớn nhất \( M \) là \(-1\). - Giá trị nhỏ nhất \( m \) là \(-5\). 6. Tính tổng \( M + m \): \[ M + m = -1 + (-5) = -6 \] Vậy giá trị của \( M + m \) là \(\boxed{-6}\). Câu 26: Để tìm giá trị nhỏ nhất (m) và giá trị lớn nhất (M) của hàm số \( f(x) = 4x + \sin^2(\pi x) \) trên đoạn \([-1; 2]\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ f'(x) = 4 + 2\sin(\pi x)\cos(\pi x) \cdot \pi \] \[ f'(x) = 4 + \pi \sin(2\pi x) \] 2. Giải phương trình \( f'(x) = 0 \) để tìm các điểm tới hạn: \[ 4 + \pi \sin(2\pi x) = 0 \] \[ \pi \sin(2\pi x) = -4 \] \[ \sin(2\pi x) = -\frac{4}{\pi} \] Vì \(-1 \leq \sin(2\pi x) \leq 1\) và \(-\frac{4}{\pi} \approx -1.273\), nên phương trình này không có nghiệm trong khoảng \([-1; 2]\). 3. Do đó, chúng ta chỉ cần kiểm tra giá trị của hàm số tại các đầu mút của đoạn \([-1; 2]\): - Tại \( x = -1 \): \[ f(-1) = 4(-1) + \sin^2(\pi (-1)) = -4 + \sin^2(-\pi) = -4 + 0 = -4 \] - Tại \( x = 2 \): \[ f(2) = 4(2) + \sin^2(\pi (2)) = 8 + \sin^2(2\pi) = 8 + 0 = 8 \] 4. So sánh các giá trị đã tính: - Giá trị nhỏ nhất \( m = -4 \) (đạt được tại \( x = -1 \)) - Giá trị lớn nhất \( M = 8 \) (đạt được tại \( x = 2 \)) 5. Tính tổng \( m + M \): \[ m + M = -4 + 8 = 4 \] Vậy giá trị của \( m + M \) là \( 4 \). Đáp án: B. 4