cho tôi đáp án câu 1

Câu 1: Để thu gọn các biểu thức lượng giác, chúng ta cần sử dụng các công thức lượng giác cơ bản và các tính chất của hàm số lượng giác. Dưới đây là lời giải chi tiết cho từng biểu thức: a. \( A = \cos(\alpha + 5\pi) \) Sử dụng tính chất chu kỳ của hàm cos: \(\cos(x + 2k\pi) = \cos(x)\) với \(k \in \mathbb{Z}\). Ta có: \[ \cos(\alpha + 5\pi) = \cos(\alpha + 2\pi \times 2 + \pi) = \cos(\alpha + \pi) = -\cos(\alpha) \] b. \( B = \cot(3\pi - \alpha) \) Sử dụng công thức: \(\cot(\pi - x) = -\cot(x)\). Ta có: \[ \cot(3\pi - \alpha) = \cot(\pi + (2\pi - \alpha)) = -\cot(\alpha) \] c. \( C = \cos(\alpha + 2018\pi) \) Sử dụng tính chất chu kỳ của hàm cos: \(\cos(x + 2k\pi) = \cos(x)\). Ta có: \[ \cos(\alpha + 2018\pi) = \cos(\alpha + 1009 \times 2\pi) = \cos(\alpha) \] d. \( D = \sin(\alpha - 2019\pi) \) Sử dụng tính chất chu kỳ của hàm sin: \(\sin(x + 2k\pi) = \sin(x)\). Ta có: \[ \sin(\alpha - 2019\pi) = \sin(\alpha - 1009 \times 2\pi - \pi) = -\sin(\alpha) \] e. \( E = \cos(2019\pi - \alpha) \) Sử dụng công thức: \(\cos(\pi - x) = -\cos(x)\). Ta có: \[ \cos(2019\pi - \alpha) = \cos(\pi + 1009 \times 2\pi - \alpha) = -\cos(\alpha) \] f. \( F = \cos(\alpha + \frac{\pi}{2}) \) Sử dụng công thức: \(\cos(x + \frac{\pi}{2}) = -\sin(x)\). Ta có: \[ \cos(\alpha + \frac{\pi}{2}) = -\sin(\alpha) \] g. \( G = \sin(\alpha + \frac{3\pi}{2}) \) Sử dụng công thức: \(\sin(x + \frac{3\pi}{2}) = -\cos(x)\). Ta có: \[ \sin(\alpha + \frac{3\pi}{2}) = -\cos(\alpha) \] h. \( H = \cos(\alpha + \frac{3\pi}{2}) \) Sử dụng công thức: \(\cos(x + \frac{3\pi}{2}) = \sin(x)\). Ta có: \[ \cos(\alpha + \frac{3\pi}{2}) = \sin(\alpha) \] i. \( I = \tan(\alpha - \frac{\pi}{2}) \) Sử dụng công thức: \(\tan(x - \frac{\pi}{2}) = -\cot(x)\). Ta có: \[ \tan(\alpha - \frac{\pi}{2}) = -\cot(\alpha) \] j. \( J = \sin(\alpha - \frac{3\pi}{2}) \) Sử dụng công thức: \(\sin(x - \frac{3\pi}{2}) = \cos(x)\). Ta có: \[ \sin(\alpha - \frac{3\pi}{2}) = \cos(\alpha) \] k. \( K = \cot(\alpha - \frac{3\pi}{2}) \) Sử dụng công thức: \(\cot(x - \frac{3\pi}{2}) = \tan(x)\). Ta có: \[ \cot(\alpha - \frac{3\pi}{2}) = \tan(\alpha) \] l. \( L = \cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha) \) Sử dụng công thức: \(\cos(\frac{3\pi}{2} - x) = \sin(x)\). Ta có: \[ \cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = \sin(\alpha) \] m. \( M = \sin(\frac{7\pi}{2} - \alpha) \) Sử dụng công thức: \(\sin(\frac{7\pi}{2} - x) = \cos(x)\). Ta có: \[ \sin(\frac{7\pi}{2} - \alpha) = \cos(\alpha) \] n. \( N = \tan(\frac{7\pi}{2} - \alpha) \) Sử dụng công thức: \(\tan(\frac{7\pi}{2} - x) = \cot(x)\). Ta có: \[ \tan(\frac{7\pi}{2} - \alpha) = \cot(\alpha) \] Như vậy, các biểu thức đã được thu gọn như trên. Câu 2: a. Ta có: \[ A = \sin \left(\dfrac{3\pi }{2}-\alpha \right)-2\sin (3\pi -\alpha )+3\cos (6\pi -\alpha )-4\cos \left(\dfrac{5\pi }{2}+\alpha \right)\] \[= -\cos \alpha + 2\sin \alpha + 3\cos \alpha + 4\sin \alpha \] \[= 6\sin \alpha + 2\cos \alpha \] b. Ta có: \[ B = \tan (7\pi +\alpha )-3\tan \left(\dfrac{5\pi }{2}+\alpha \right)+\cos \left(\dfrac{7\pi }{2}+\alpha \right)+\cot \left(\alpha -\dfrac{5\pi }{2}\right)+3\cot (5\pi -\alpha )\] \[= \tan \alpha + 3\cot \alpha - \sin \alpha - \cot \alpha - 3\cot \alpha \] \[= \tan \alpha - \sin \alpha - \cot \alpha \] Câu 3: Để giải các bài toán này, chúng ta sẽ phân tích từng biểu thức một cách chi tiết. a. Tính giá trị của \( A = \cos^2 5^\circ + \cos^2 15^\circ + \cos^2 25^\circ + \ldots + \cos^2 85^\circ \) Biểu thức này bao gồm các giá trị của \(\cos^2\) từ \(5^\circ\) đến \(85^\circ\) với bước nhảy \(10^\circ\). Chúng ta có thể sử dụng công thức: \[ \cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2} \] Áp dụng công thức này cho từng góc, ta có: \[ A = \frac{1 + \cos 10^\circ}{2} + \frac{1 + \cos 30^\circ}{2} + \frac{1 + \cos 50^\circ}{2} + \ldots + \frac{1 + \cos 170^\circ}{2} \] Tổng số hạng là 9, do đó: \[ A = \frac{1}{2} \times 9 + \frac{1}{2} (\cos 10^\circ + \cos 30^\circ + \ldots + \cos 170^\circ) \] Sử dụng tính chất đối xứng của hàm cosin, ta có: \[ \cos 10^\circ + \cos 170^\circ = 0, \quad \cos 30^\circ + \cos 150^\circ = 0, \ldots \] Do đó, tổng của các cosin là 0. Vậy: \[ A = \frac{9}{2} + \frac{1}{2} \times 0 = \frac{9}{2} \] b. Tính giá trị của \( B = \sin^2 10^\circ + \sin^2 20^\circ + \sin^2 30^\circ + \ldots + \sin^2 80^\circ \) Tương tự như phần a, ta sử dụng công thức: \[ \sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2} \] Áp dụng công thức này cho từng góc, ta có: \[ B = \frac{1 - \cos 20^\circ}{2} + \frac{1 - \cos 40^\circ}{2} + \ldots + \frac{1 - \cos 160^\circ}{2} \] Tổng số hạng là 8, do đó: \[ B = \frac{1}{2} \times 8 - \frac{1}{2} (\cos 20^\circ + \cos 40^\circ + \ldots + \cos 160^\circ) \] Sử dụng tính chất đối xứng của hàm cosin, ta có: \[ \cos 20^\circ + \cos 160^\circ = 0, \quad \cos 40^\circ + \cos 140^\circ = 0, \ldots \] Do đó, tổng của các cosin là 0. Vậy: \[ B = \frac{8}{2} - \frac{1}{2} \times 0 = 4 \] c. Tính giá trị của \( C = \tan 15^\circ + \tan 25^\circ + \ldots + \tan 165^\circ \) Biểu thức này bao gồm các giá trị của \(\tan\) từ \(15^\circ\) đến \(165^\circ\) với bước nhảy \(10^\circ\). Chúng ta sử dụng tính chất đối xứng của hàm tang: \[ \tan(180^\circ - \theta) = -\tan \theta \] Do đó, các cặp \(\tan 15^\circ + \tan 165^\circ\), \(\tan 25^\circ + \tan 155^\circ\), \ldots đều bằng 0. Vậy: \[ C = 0 \] Tóm lại, các giá trị cần tìm là: - \( A = \frac{9}{2} \) - \( B = 4 \) - \( C = 0 \)