Chứng minh rằng tiếp tuyến tại một điểm của đường tròn vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

Question

Accepted Answer

Để chứng minh rằng tiếp tuyến tại một điểm của đường tròn vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm, ta thực hiện các bước sau:

Giả sử đường tròn có tâm $ O $ và bán kính $ r $. Gọi $ A $ là điểm tiếp xúc của tiếp tuyến $ t $ với đường tròn. Ta cần chứng minh rằng $ t $ vuông góc với bán kính $ OA $.

1. Xác định các yếu tố liên quan:
   - $ O $ là tâm của đường tròn.
   - $ A $ là điểm tiếp xúc của tiếp tuyến $ t $.
   - $ OA $ là bán kính của đường tròn.

2. Tính chất của tiếp tuyến:
   - Theo định nghĩa, tiếp tuyến tại một điểm trên đường tròn chỉ có một điểm chung với đường tròn, đó là điểm tiếp xúc $ A $.

3. Chứng minh vuông góc:
   - Giả sử có một điểm $ B $ nằm trên tiếp tuyến $ t $ khác với $ A $.
   - Do $ B $ nằm trên tiếp tuyến, nên $ B $ không nằm trên đường tròn. Điều này có nghĩa là $ OB > r $.
   - Xét tam giác $ \triangle OAB $, theo bất đẳng thức tam giác, ta có $ OA + AB > OB $.
   - Vì $ OA = r $ và $ OB > r $, nên $ AB $ phải lớn hơn 0, tức là $ A \neq B $.

4. Sử dụng định lý Pythagore:
   - Trong tam giác vuông $ \triangle OAB $, nếu $ \angle OAB = 90^\circ $, thì theo định lý Pythagore, ta có:
     $$
     OA^2 + AB^2 = OB^2
     $$
   - Tuy nhiên, vì $ OB > OA $ và $ A $ là điểm tiếp xúc duy nhất, nên $ \angle OAB $ phải là góc vuông.

5. Kết luận:
   - Do đó, tiếp tuyến $ t $ tại điểm $ A $ vuông góc với bán kính $ OA $.

Vậy, ta đã chứng minh rằng tiếp tuyến tại một điểm của đường tròn vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.