Cho tam giác ABC vuông tại A. AH là đường cao. Gọi M là trung điểm của AH, K là điểm đối xứng với B qua A. Dựng hình bình hành BHKD. Qua A kẻ đường song song với BC, cắt CD tại điểm E. a) Chứng minh rằ...

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt chứng minh từng phần theo yêu cầu. a) Chứng minh rằng đường thẳng EA là trung trực của DH. 1. Vì BHKD là hình bình hành nên BH = DK và BD // HK. 2. Do K là điểm đối xứng của B qua A nên AK = AB và AK // AB. 3. Vì AH là đường cao của tam giác ABC vuông tại A, nên AH ⊥ BC. 4. Đường thẳng EA song song với BC nên EA ⊥ AH. 5. Do đó, EA là đường trung trực của đoạn thẳng DH vì EA vuông góc với DH tại trung điểm của DH. b) Chứng minh rằng AC đi qua trung điểm của ME. 1. Gọi N là trung điểm của ME. 2. Vì M là trung điểm của AH, nên AM = MH. 3. Đường thẳng EA song song với BC và cắt CD tại E, do đó AE = EC (vì E là trung điểm của CD trong hình bình hành BHKD). 4. Do đó, ME = EC và N là trung điểm của ME. 5. Vì AC là đường cao của tam giác ABC, nên AC ⊥ BC. 6. Do đó, AC đi qua trung điểm N của ME. c) Chứng minh CM vuông góc với HK. 1. Vì M là trung điểm của AH, nên AM = MH. 2. Trong hình bình hành BHKD, ta có BD // HK và BH = DK. 3. Do đó, CM là đường trung bình của tam giác AHK. 4. Vì CM là đường trung bình, nên CM // HK. 5. Do đó, CM vuông góc với HK vì CM là đường trung bình của tam giác vuông AHK. Với các lập luận trên, chúng ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán.