Tam giác ABC vuông tại A; phân giác BD. Kẻ DE vuông góc BC (E thuộc BC). Gọi F là giao điểm của BA và ED. Chứng minh: a) BD là đường trung trực của AE b) DF = DC c) AD < DC

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt chứng minh từng phần theo yêu cầu. a) Chứng minh BD là đường trung trực của AE - Vì tam giác ABC vuông tại A, nên góc BAC là góc vuông. - BD là phân giác của góc ABC, do đó góc ABD = góc CBD. - DE vuông góc với BC tại E, nên DE là đường cao của tam giác BEC. - Xét tam giác ABE và tam giác CBE, ta có: - AE = CE (vì DE là đường cao và E là trung điểm của AC trong tam giác vuông ABC). - BE là cạnh chung. - Góc AEB = góc CEB (vì DE vuông góc với BC). - Do đó, tam giác ABE bằng tam giác CBE (cạnh-góc-cạnh). - Suy ra, BD là đường trung trực của AE vì BD đi qua trung điểm E của AE và vuông góc với AE. b) Chứng minh DF = DC - Xét tam giác BDF và tam giác BDC, ta có: - BD là cạnh chung. - Góc BDF = góc BDC (vì DE vuông góc với BC nên góc BDF = góc BDC = 90 độ). - DF = DC (vì tam giác BDF và tam giác BDC là hai tam giác vuông có cạnh huyền và một cạnh góc vuông bằng nhau). - Do đó, DF = DC. c) Chứng minh AD < DC - Xét tam giác ADC, ta có: - AD là cạnh đối diện với góc A trong tam giác vuông ADC. - DC là cạnh huyền của tam giác vuông ADC. - Trong một tam giác vuông, cạnh huyền luôn lớn hơn các cạnh góc vuông. - Do đó, AD < DC. Vậy, chúng ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán.