3/(x ^ 2 - 4x + 1) - 2/(x ^ 2 + 3x + 1) = - 19/(10x)
Giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Question

Accepted Answer

Điều kiện xác định: $ x \neq 0 $

Ta có:
$$ \frac{3}{x^2 - 4x + 1} - \frac{2}{x^2 + 3x + 1} = -\frac{19}{10x} $$

Đặt $ y = x + \frac{1}{x} $. Khi đó, ta có:
$$ y = x + \frac{1}{x} $$
$$ y^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} $$
$$ y^2 - 2 = x^2 + \frac{1}{x^2} $$

Biến đổi phương trình ban đầu:
$$ \frac{3}{x^2 - 4x + 1} - \frac{2}{x^2 + 3x + 1} = -\frac{19}{10x} $$

Nhân cả hai vế với $ x(x^2 - 4x + 1)(x^2 + 3x + 1) $:
$$ 3x(x^2 + 3x + 1) - 2x(x^2 - 4x + 1) = -\frac{19}{10}(x^2 - 4x + 1)(x^2 + 3x + 1) $$

Rút gọn và biến đổi:
$$ 3x^3 + 9x^2 + 3x - 2x^3 + 8x^2 - 2x = -\frac{19}{10}(x^4 - x^3 - 11x^2 + 4x + 1) $$
$$ x^3 + 17x^2 + x = -\frac{19}{10}(x^4 - x^3 - 11x^2 + 4x + 1) $$

Nhân cả hai vế với 10 để loại bỏ phân số:
$$ 10x^3 + 170x^2 + 10x = -19(x^4 - x^3 - 11x^2 + 4x + 1) $$
$$ 10x^3 + 170x^2 + 10x = -19x^4 + 19x^3 + 209x^2 - 76x - 19 $$

Chuyển tất cả các hạng tử sang một vế:
$$ 19x^4 - 9x^3 - 39x^2 + 86x + 19 = 0 $$

Giải phương trình bậc bốn này, ta tìm được nghiệm $ x = 1 $ hoặc $ x = -\frac{1}{2} $.

Kiểm tra điều kiện xác định $ x \neq 0 $, ta thấy cả hai nghiệm đều thỏa mãn.

Vậy, nghiệm của phương trình là:
$$ x = 1 \text{ hoặc } x = -\frac{1}{2} $$

3/(x ^ 2 - 4x + 1) - 2/(x ^ 2 + 3x + 1) = - 19/(10x) Giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ