Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a² + b² + c² = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:$P=\frac{1}{2-a}+\frac{1}{2-b}+\frac{1}{2-c}$.

Question

Accepted Answer

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ P = \frac{1}{2-a} + \frac{1}{2-b} + \frac{1}{2-c} $ với các số dương $ a, b, c $ thỏa mãn $ a^2 + b^2 + c^2 = 3 $, chúng ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

Bước 1: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho ba cặp số $(1, 1, 1)$ và $(2-a, 2-b, 2-c)$:

$$
(1+1+1)\left(\frac{1}{2-a} + \frac{1}{2-b} + \frac{1}{2-c}\right) \geq \left(\sqrt{\frac{1}{2-a}} + \sqrt{\frac{1}{2-b}} + \sqrt{\frac{1}{2-c}}\right)^2
$$

Bước 2: Đặt $ S = \frac{1}{2-a} + \frac{1}{2-b} + \frac{1}{2-c} $. Ta có:

$$
3S \geq \left(\sqrt{\frac{1}{2-a}} + \sqrt{\frac{1}{2-b}} + \sqrt{\frac{1}{2-c}}\right)^2
$$

Bước 3: Để tìm giá trị nhỏ nhất của $ S $, ta cần tối ưu hóa biểu thức bên phải. Ta biết rằng $ a^2 + b^2 + c^2 = 3 $. Do đó, $ a, b, c $ đều nằm trong khoảng $[0, \sqrt{3}]$.

Bước 4: Xét trường hợp $ a = b = c $. Vì $ a^2 + b^2 + c^2 = 3 $, ta có:

$$
3a^2 = 3 \implies a^2 = 1 \implies a = 1
$$

Do đó, $ a = b = c = 1 $.

Bước 5: Thay $ a = b = c = 1 $ vào biểu thức $ P $:

$$
P = \frac{1}{2-1} + \frac{1}{2-1} + \frac{1}{2-1} = 1 + 1 + 1 = 3
$$

Bước 6: Kiểm tra xem $ P = 3 $ có phải là giá trị nhỏ nhất hay không. Ta thấy rằng nếu $ a, b, c $ khác nhau, thì $ P $ sẽ lớn hơn 3 do tính chất của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

Vậy giá trị nhỏ nhất của $ P $ là 3, đạt được khi $ a = b = c = 1 $.

Đáp số: Giá trị nhỏ nhất của $ P $ là 3, đạt được khi $ a = b = c = 1 $.