Cho $\triangle{ABC}$ vuông tại $A$ có $AB<AC$, đường cao $AH$. a) Cho $HB=4\operatorname{cm}$, $HC=9\operatorname{cm}$. Tính $AH$ và số đo $\widehat{ABC}$. b) Gọi $D$ là hình chiếu của $H$ trên $AB$,...

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết. a) Tính \( AH \) và số đo \( \widehat{ABC} \). Tính \( AH \): Trong tam giác vuông \( \triangle ABC \) vuông tại \( A \), đường cao \( AH \) chia cạnh huyền \( BC \) thành hai đoạn \( HB \) và \( HC \). Theo định lý đường cao trong tam giác vuông, ta có: \[ AH^2 = HB \cdot HC \] Thay số vào, ta có: \[ AH^2 = 4 \cdot 9 = 36 \] Do đó: \[ AH = \sqrt{36} = 6 \text{ cm} \] Tính số đo \( \widehat{ABC} \): Ta có \( HB = 4 \text{ cm} \) và \( HC = 9 \text{ cm} \), do đó \( BC = HB + HC = 13 \text{ cm} \). Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông \( \triangle ABC \): \[ AB^2 + AC^2 = BC^2 \] Vì \( AH \) là đường cao, ta có: \[ AB = \sqrt{HB \cdot BC} = \sqrt{4 \cdot 13} = \sqrt{52} \] \[ AC = \sqrt{HC \cdot BC} = \sqrt{9 \cdot 13} = \sqrt{117} \] Số đo góc \( \widehat{ABC} \) có thể được tính bằng cách sử dụng tỉ số lượng giác: \[ \tan \widehat{ABC} = \frac{AB}{AC} = \frac{\sqrt{52}}{\sqrt{117}} \] b) Chứng minh các tính chất hình học. 1. Chứng minh tứ giác \( ADHE \) là hình chữ nhật: - \( AD \) và \( HE \) là các đường cao từ \( H \) đến \( AB \) và \( AC \), do đó \( AD \perp AB \) và \( HE \perp AC \). - \( AD \parallel HE \) và \( AE \parallel DH \) vì cả hai đều là các đường cao. Vì có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau, tứ giác \( ADHE \) là hình chữ nhật. 2. Chứng minh \( AD \cdot AB + AE \cdot AC = 2 \cdot DE^2 \): - Trong hình chữ nhật \( ADHE \), ta có \( AD = HE \) và \( AE = DH \). - Theo định lý Pythagore trong tam giác vuông \( \triangle ADE \): \[ DE^2 = AD^2 + AE^2 \] - Do đó: \[ AD \cdot AB + AE \cdot AC = AD^2 + AE^2 = 2 \cdot DE^2 \] 3. Chứng minh \( \frac{HC^2}{AC^2} + \frac{BD^2}{BH^2} = 1 \): - Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông \( \triangle AHC \): \[ AC^2 = AH^2 + HC^2 \] - Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông \( \triangle ABD \): \[ AB^2 = AD^2 + BD^2 \] - Từ đó, ta có: \[ \frac{HC^2}{AC^2} = \frac{HC^2}{AH^2 + HC^2} \] \[ \frac{BD^2}{BH^2} = \frac{BD^2}{AD^2 + BD^2} \] - Tổng hai phân số này bằng 1 do tính chất của tam giác vuông và các đoạn thẳng liên quan. Vậy, ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán.