Cho tam giác ABC vuông tại A . Vẽ AK vuông góc BC (K thuộc BC). Trên tia đối của tia KA lấy điểm M sao cho KA = KM. a. Chứng minh: DKAB = DKMB. Tính số góc MAB b. Trên tia KB lấy điểm D sao cho KD =...

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước theo yêu cầu. a. Chứng minh: \(\triangle KAB = \triangle KMB\). Tính số đo góc \(MAB\). 1. Chứng minh \(\triangle KAB = \triangle KMB\): - Ta có \(KA = KM\) (do điểm \(M\) được chọn trên tia đối của tia \(KA\) sao cho \(KA = KM\)). - \(KB\) là cạnh chung của hai tam giác \(\triangle KAB\) và \(\triangle KMB\). - Góc \(\angle KAB = \angle KMB\) (vì \(\angle KAB\) và \(\angle KMB\) là hai góc đối đỉnh). Từ ba điều trên, theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (c-g-c), ta có \(\triangle KAB = \triangle KMB\). 2. Tính số đo góc \(MAB\): - Do \(\triangle KAB = \triangle KMB\), nên \(\angle KAB = \angle KMB\). - Vì \(\angle KAB\) và \(\angle KMB\) là hai góc đối đỉnh, nên \(\angle KAB = \angle KMB = 90^\circ\). Do đó, góc \(MAB\) là góc phụ với góc \(KAB\) trong tam giác vuông \(\triangle KAB\), nên \(\angle MAB = 90^\circ - \angle KAB = 90^\circ - 90^\circ = 0^\circ\). b. Trên tia \(KB\) lấy điểm \(D\) sao cho \(KD = KC\). Tia \(MD\) cắt \(AB\) tại \(N\). Chứng minh: \(MN\) vuông góc với \(AB\). 1. Chứng minh \(MN\) vuông góc với \(AB\): - Ta có \(KD = KC\) (do điều kiện bài toán). - Trong tam giác \(\triangle KDC\), \(D\) là điểm nằm trên tia \(KB\) sao cho \(KD = KC\), do đó \(D\) là trung điểm của đoạn thẳng \(KC\). - Vì \(M\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(K\) (do \(KA = KM\)), nên \(M\) cũng là điểm đối xứng của \(C\) qua \(D\) (do \(KD = KC\)). - Do đó, \(MD\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(AC\). Vì \(MD\) là đường trung trực của \(AC\), nên \(MN\) vuông góc với \(AB\) tại \(N\). Vậy, ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán. Bài 4: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết. a. Chứng minh rằng: tam giác \( \triangle ABH = \triangle ACH \) Chứng minh: 1. Tam giác \( \triangle ABC \) cân tại \( A \) nên \( AB = AC = 15 \) cm. 2. \( AH \) là tia phân giác của góc \( \angle BAC \), do đó theo tính chất của đường phân giác trong tam giác, ta có: \[ \frac{BH}{HC} = \frac{AB}{AC} \] Thay số vào, ta có: \[ \frac{9}{HC} = \frac{15}{15} = 1 \] Suy ra \( BH = HC = 9 \) cm. 3. Xét hai tam giác \( \triangle ABH \) và \( \triangle ACH \): - \( AB = AC = 15 \) cm (giả thiết tam giác cân). - \( BH = HC = 9 \) cm (từ tính chất đường phân giác). - \( AH \) là cạnh chung. Do đó, theo trường hợp cạnh-cạnh-cạnh (c.c.c), ta có \( \triangle ABH = \triangle ACH \). b. Vẽ trung tuyến \( BD \), \( BD \) cắt \( AH \) tại \( G \). Chứng minh: \( G \) là trọng tâm của \( \triangle ABC \). Tính \( AG \). Chứng minh: 1. \( BD \) là trung tuyến nên \( D \) là trung điểm của \( AC \). 2. \( AH \) là đường phân giác và cũng là đường cao của tam giác cân \( \triangle ABC \), do đó \( AH \) cũng là trung tuyến, nên \( H \) là trung điểm của \( BC \). 3. \( G \) là giao điểm của hai trung tuyến \( BD \) và \( AH \), do đó \( G \) là trọng tâm của tam giác \( \triangle ABC \). Tính \( AG \): - Trong tam giác, trọng tâm chia mỗi trung tuyến thành hai phần với tỉ lệ \( 2:1 \), phần dài hơn nằm giữa đỉnh và trọng tâm. - Do đó, \( AG = \frac{2}{3} \times AH \). - Tính \( AH \) trong tam giác vuông \( \triangle ABH \) (vì \( \triangle ABC \) cân tại \( A \) và \( AH \) là đường cao): \[ AH = \sqrt{AB^2 - BH^2} = \sqrt{15^2 - 9^2} = \sqrt{225 - 81} = \sqrt{144} = 12 \text{ cm} \] - Vậy \( AG = \frac{2}{3} \times 12 = 8 \text{ cm} \). c. Qua \( H \) vẽ đường thẳng song song với \( AC \) cắt \( AB \) tại \( E \). Chứng minh: 3 điểm \( A \), \( G \), \( E \) thẳng hàng. Chứng minh: 1. Do \( HE \parallel AC \) và \( H \) là trung điểm của \( BC \), theo định lý đường trung bình trong tam giác, ta có: \[ HE = \frac{1}{2} \times AC = \frac{1}{2} \times 15 = 7.5 \text{ cm} \] 2. Xét tam giác \( \triangle AHE \) và tam giác \( \triangle ACG \): - \( HE \parallel AC \) nên \( \angle AHE = \angle ACG \). - \( AH \) là đường chung. 3. Do đó, theo định lý Thales, ta có \( A \), \( G \), \( E \) thẳng hàng. Vậy, chúng ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán.