.Cho hai điểm B và C cố định (B= C). Xét A thay đổi sao cho BAC = 90o.Kẻ AH⊥BC tại H, gọi HE⊥AB tại E và HF⊥AC tại F và M là trung điểm của BC. a) Chứng minh ∆ABC ∽∆AFE. b) Chứng minh AM⊥EF. c) Tín...

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết. a) Chứng minh ∆ABC ∽∆AFE. Để chứng minh hai tam giác đồng dạng, ta cần chỉ ra rằng chúng có ba cặp góc tương ứng bằng nhau. - Xét tam giác \( \triangle ABC \) và \( \triangle AFE \): - Ta có \( \angle BAC = 90^\circ \) (giả thiết). - \( \angle AFE = 90^\circ \) (vì \( HE \perp AB \)). - Do đó, \( \angle BAC = \angle AFE = 90^\circ \). - Xét góc \( \angle ABC \) và \( \angle AEF \): - \( \angle ABC = \angle AEF \) vì \( HE \parallel AC \) (do \( HE \perp AB \) và \( HF \perp AC \)). - Xét góc \( \angle ACB \) và \( \angle AFE \): - \( \angle ACB = \angle AFE \) vì \( HF \parallel AB \). Vậy, \( \triangle ABC \sim \triangle AFE \) theo trường hợp góc-góc-góc (AAA). b) Chứng minh \( AM \perp EF \). - Ta có \( M \) là trung điểm của \( BC \), do đó \( AM \) là đường trung tuyến của tam giác \( \triangle ABC \). - Vì \( \triangle ABC \sim \triangle AFE \), nên \( AM \) cũng là đường trung tuyến của tam giác \( \triangle AFE \). - Trong tam giác vuông \( \triangle AFE \), đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \( EF \) cũng là đường cao. - Do đó, \( AM \perp EF \). c) Tính giá trị nhỏ nhất của \( EF \). - Theo gợi ý, vì \( AEHF \) là hình chữ nhật nên \( EF = AH \). - Để \( EF \) nhỏ nhất, ta cần \( AH \) nhỏ nhất. - \( AH \) là đường cao từ \( A \) đến \( BC \) trong tam giác vuông \( \triangle ABC \). - Để \( AH \) nhỏ nhất, điểm \( A \) phải nằm trên đường tròn đường kính \( BC \). - Khi đó, \( AH \) đạt giá trị nhỏ nhất là 0. Vậy, giá trị nhỏ nhất của \( EF \) là 0.