xét tính đơn hiệu của hàm số $d)~y=e^{2x}-2x$,$g)~y=x^2.e^x$

Question

Timi · Accepted Answer

Để xét tính đơn điệu của các hàm số, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số. 2. Xác định dấu của đạo hàm trên từng khoảng. 3. Kết luận về tính đơn điệu của hàm số dựa vào dấu của đạo hàm. Hàm số $ y = e^{2x} - 2x $ Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số $$ y' = \frac{d}{dx}(e^{2x} - 2x) = 2e^{2x} - 2 $$ Bước 2: Xác định dấu của đạo hàm $$ y' = 2(e^{2x} - 1) $$ - $ e^{2x} - 1 > 0 $ khi $ e^{2x} > 1 $ tức là $ 2x > 0 $ hay $ x > 0 $ - $ e^{2x} - 1 < 0 $ khi $ e^{2x} < 1 $ tức là $ 2x < 0 $ hay $ x < 0 $ - $ e^{2x} - 1 = 0 $ khi $ e^{2x} = 1 $ tức là $ 2x = 0 $ hay $ x = 0 $ Bước 3: Kết luận về tính đơn điệu - Trên khoảng $ (-\infty, 0) $, $ y' < 0 $ nên hàm số giảm. - Tại $ x = 0 $, $ y' = 0 $. - Trên khoảng $ (0, +\infty) $, $ y' > 0 $ nên hàm số tăng. Hàm số $ y = x^2 e^x $ Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số $$ y' = \frac{d}{dx}(x^2 e^x) = 2x e^x + x^2 e^x = x e^x (2 + x) $$ Bước 2: Xác định dấu của đạo hàm $$ y' = x e^x (2 + x) $$ - $ x e^x (2 + x) > 0 $ khi: - $ x > 0 $ và $ 2 + x > 0 $ (luôn đúng) - $ x < 0 $ và $ 2 + x < 0 $ (tức là $ x < -2 $) - $ x e^x (2 + x) < 0 $ khi: - $ x > 0 $ và $ 2 + x < 0 $ (không thể xảy ra) - $ x < 0 $ và $ 2 + x > 0 $ (tức là $ -2 < x < 0 $) - $ x e^x (2 + x) = 0 $ khi: - $ x = 0 $ - $ x = -2 $ Bước 3: Kết luận về tính đơn điệu - Trên khoảng $ (-\infty, -2) $, $ y' > 0 $ nên hàm số tăng. - Tại $ x = -2 $, $ y' = 0 $. - Trên khoảng $ (-2, 0) $, $ y' < 0 $ nên hàm số giảm. - Tại $ x = 0 $, $ y' = 0 $. - Trên khoảng $ (0, +\infty) $, $ y' > 0 $ nên hàm số tăng. Tóm lại: - Hàm số $ y = e^{2x} - 2x $: - Giảm trên $ (-\infty, 0) $ - Tăng trên $ (0, +\infty) $ - Hàm số $ y = x^2 e^x $: - Tăng trên $ (-\infty, -2) $ - Giảm trên $ (-2, 0) $ - Tăng trên $ (0, +\infty) $