Cho tam giác ABC cân tại A có góc BAC=100 độ,tia phân giác góc B cắt AC tại D.Qua A kẻ đường vuông góc với BD cắt BC ở I.a)cm BD là đường trung trực của AI.b)Trên tia đối của tia DB lấy điểm K sao cho...

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết. a) Chứng minh BD là đường trung trực của AI 1. Xét tam giác ABD và tam giác AID: - Ta có $$ (vì D nằm trên phân giác của góc BAC). - $$ là cạnh chung. - $$ (vì AI vuông góc với BD). 2. Kết luận: - Tam giác ABD và tam giác AID là hai tam giác vuông có hai góc bằng nhau và cạnh chung, do đó chúng bằng nhau theo trường hợp góc - cạnh - góc (G-C-G). - Suy ra $$. - Do đó, BD là đường trung trực của AI. b) Trên tia đối của tia DB lấy điểm K sao cho DK = DA. Chứng minh tam giác AIK đều 1. Xét tam giác ADK: - Ta có $$ (theo giả thiết). - $$ (vì tam giác ADK cân tại D). 2. Xét tam giác AIK: - Ta đã có $$ (vì tam giác ABD và AID bằng nhau). - $$ (theo giả thiết). - Do đó, $$ (vì $$). 3. Kết luận: - Tam giác AIK có ba cạnh bằng nhau, do đó tam giác AIK là tam giác đều. c) Chứng minh BK = BC 1. Xét tam giác BDK và tam giác BDC: - Ta có $$ và $$ (vì tam giác ABC cân tại A). - $$ (vì D nằm trên phân giác của góc BAC). 2. Kết luận: - Tam giác BDK và tam giác BDC có hai cạnh và góc xen giữa bằng nhau, do đó chúng bằng nhau theo trường hợp cạnh - góc - cạnh (C-G-C). - Suy ra $$. d) Lấy điểm E thuộc BD. Chứng minh BC + EA > AB + EC 1. Sử dụng bất đẳng thức tam giác: - Trong tam giác ABE, ta có $$. - Trong tam giác CBE, ta có $$. 2. Cộng hai bất đẳng thức: - $$. - Suy ra $$. 3. Kết luận: - Vì $$ là một đoạn thẳng dương, nên $$. Với các bước lập luận trên, chúng ta đã giải quyết xong bài toán.