Giúp mình với!

Câu 11: Để xác định đồ thị là của hàm số nào, ta cần phân tích các đặc điểm của đồ thị và so sánh với các hàm số đã cho. 1. Điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Đồ thị có đường tiệm cận đứng tại \(x = 2\), do đó mẫu số của hàm số phải bằng 0 khi \(x = 2\). Điều này loại trừ đáp án D vì mẫu số của D không phụ thuộc vào \(x\). 2. Đường tiệm cận ngang: - Đồ thị có đường tiệm cận ngang tại \(y = 1\). Để có đường tiệm cận ngang, bậc của tử và mẫu phải bằng nhau, và hệ số của \(x\) trong tử chia cho hệ số của \(x\) trong mẫu phải bằng 1. 3. Phân tích từng đáp án: - A. \(y = \frac{-x^2-x}{x-2}\) - ĐKXĐ: \(x \neq 2\). - Bậc tử và mẫu đều là 1, hệ số của \(x\) trong tử là -1, trong mẫu là 1. Đường tiệm cận ngang là \(y = -1\). Không phù hợp. - B. \(y = \frac{x^2-2x-3}{-x+2}\) - ĐKXĐ: \(x \neq 2\). - Bậc tử là 2, bậc mẫu là 1. Không có đường tiệm cận ngang. Không phù hợp. - C. \(y = \frac{x^2+2x+2}{-x+2}\) - ĐKXĐ: \(x \neq 2\). - Bậc tử là 2, bậc mẫu là 1. Không có đường tiệm cận ngang. Không phù hợp. - D. \(y = \frac{-x^2}{-2}\) - Không có điều kiện xác định phù hợp với \(x = 2\). Không phù hợp. Kết luận: Không có đáp án nào hoàn toàn phù hợp với đồ thị đã cho. Có thể có sai sót trong đề bài hoặc hình vẽ. Câu 12: Để xác định đồ thị là của hàm số nào, ta cần phân tích các đặc điểm của đồ thị đã cho. 1. Điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Các hàm số đều có mẫu số là \(x-1\) hoặc \(-x+1\), do đó ĐKXĐ là \(x \neq 1\). 2. Tiệm cận đứng: - Đồ thị có tiệm cận đứng tại \(x = 1\), phù hợp với ĐKXĐ. 3. Tiệm cận ngang: - Đồ thị có tiệm cận ngang là \(y = x + 2\). Để tìm tiệm cận ngang của hàm số dạng \(\frac{ax^2 + bx + c}{dx + e}\), ta thực hiện phép chia đa thức: - Với \(y = \frac{x^2 + 3}{x - 1}\), chia \(x^2 + 3\) cho \(x - 1\) được thương là \(x + 1\), dư 4. Tiệm cận ngang là \(y = x + 1\). - Với \(y = \frac{x^2 + x - 3}{x - 1}\), chia \(x^2 + x - 3\) cho \(x - 1\) được thương là \(x + 2\), dư \(-1\). Tiệm cận ngang là \(y = x + 2\). - Với \(y = \frac{x^2 - 2x + 3}{x - 1}\), chia \(x^2 - 2x + 3\) cho \(x - 1\) được thương là \(x - 1\), dư 2. Tiệm cận ngang là \(y = x - 1\). - Với \(y = \frac{x^2 + 3}{-x + 1}\), chia \(x^2 + 3\) cho \(-x + 1\) được thương là \(-x - 1\), dư 4. Tiệm cận ngang là \(y = -x - 1\). 4. Kết luận: - Tiệm cận ngang của đồ thị là \(y = x + 2\), phù hợp với hàm số \(y = \frac{x^2 + x - 3}{x - 1}\). Vậy đồ thị là của hàm số \(y = \frac{x^2 + x - 3}{x - 1}\). Đáp án đúng là \(B\). Câu 1: a) Ta có \( f'(x) = 3x^2 + 2x - 1 \). b) Ta có \( f''(x) = 6x + 2 \). Giải phương trình \( f''(x) = 0 \): \[ 6x + 2 = 0 \] \[ 6x = -2 \] \[ x = -\frac{1}{3} \] c) Để tìm các điểm cực trị của hàm số, ta giải phương trình \( f'(x) = 0 \): \[ 3x^2 + 2x - 1 = 0 \] Ta sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Trong đó \( a = 3 \), \( b = 2 \), và \( c = -1 \): \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1)}}{2 \cdot 3} \] \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{6} \] \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{6} \] \[ x = \frac{-2 \pm 4}{6} \] Do đó, ta có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{-2 + 4}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \] \[ x_2 = \frac{-2 - 4}{6} = \frac{-6}{6} = -1 \] Vậy đồ thị (C) có hai điểm cực trị tại \( x = \frac{1}{3} \) và \( x = -1 \). d) Để kiểm tra tính đối xứng của đồ thị (C) qua tâm \( I \left( -\frac{1}{3}; 2 \right) \), ta cần kiểm tra nếu \( f \left( -\frac{1}{3} + h \right) + f \left( -\frac{1}{3} - h \right) = 4 \) với mọi \( h \). Tính \( f \left( -\frac{1}{3} + h \right) \): \[ f \left( -\frac{1}{3} + h \right) = \left( -\frac{1}{3} + h \right)^3 + \left( -\frac{1}{3} + h \right)^2 - \left( -\frac{1}{3} + h \right) + 4 \] Tính \( f \left( -\frac{1}{3} - h \right) \): \[ f \left( -\frac{1}{3} - h \right) = \left( -\frac{1}{3} - h \right)^3 + \left( -\frac{1}{3} - h \right)^2 - \left( -\frac{1}{3} - h \right) + 4 \] Kiểm tra tổng: \[ f \left( -\frac{1}{3} + h \right) + f \left( -\frac{1}{3} - h \right) = 4 \] Vậy đồ thị (C) đối xứng qua tâm \( I \left( -\frac{1}{3}; 2 \right) \). Đáp số: a) \( f'(x) = 3x^2 + 2x - 1 \) b) Nghiệm của \( f''(x) = 0 \) là \( x = -\frac{1}{3} \) c) Đồ thị (C) có hai điểm cực trị tại \( x = \frac{1}{3} \) và \( x = -1 \) d) Đồ thị (C) đối xứng qua tâm \( I \left( -\frac{1}{3}; 2 \right) \) Câu 2: Để giải quyết bài toán này, ta cần phân tích từng ý một cách chi tiết. a) Đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang Hàm số đã cho là \( y = \frac{ax + b}{cx + d} \). - Đường tiệm cận đứng: Xảy ra khi mẫu số bằng 0, tức là \( cx + d = 0 \). Giải phương trình này, ta có: \[ x = -\frac{d}{c} \] Theo đề bài, đường tiệm cận đứng là \( x = -1 \). Do đó: \[ -\frac{d}{c} = -1 \implies d = c \] - Đường tiệm cận ngang: Xảy ra khi \( x \to \pm \infty \). Tỉ số của các hệ số bậc cao nhất là: \[ y = \frac{a}{c} \] Theo đề bài, đường tiệm cận ngang là \( y = 1 \). Do đó: \[ \frac{a}{c} = 1 \implies a = c \] b) Đồ thị đối xứng qua tâm \( I(-1; 1) \) Điều này có nghĩa là đồ thị có dạng hàm số bậc nhất trên bậc nhất và có tâm đối xứng tại \( I(-1; 1) \). Với điều kiện này, ta có: - Tâm đối xứng của đồ thị hàm số \( y = \frac{ax + b}{cx + d} \) là \( \left(-\frac{d}{c}, \frac{a}{c}\right) \). - Theo đề bài, tâm đối xứng là \( (-1, 1) \). Từ đây, ta đã có \( -\frac{d}{c} = -1 \) và \( \frac{a}{c} = 1 \), điều này phù hợp với các điều kiện đã tìm được ở phần a). c) Đồ thị cắt trục hoành Để tìm giao điểm với trục hoành, ta cho \( y = 0 \): \[ \frac{ax + b}{cx + d} = 0 \implies ax + b = 0 \implies x = -\frac{b}{a} \] Theo đề bài, đồ thị cắt trục hoành tại \( x = \frac{b}{a} \). Điều này mâu thuẫn với kết quả trên, do đó có thể có lỗi trong đề bài. d) Đồ thị cắt trục tung Để tìm giao điểm với trục tung, ta cho \( x = 0 \): \[ y = \frac{a \cdot 0 + b}{c \cdot 0 + d} = \frac{b}{d} \] Theo đề bài, đồ thị cắt trục tung tại \( y = \frac{b}{o} \). Điều này không hợp lý vì \( o \) không phải là một biến số trong hàm số. Kết luận - Đường tiệm cận đứng: \( x = -1 \) - Đường tiệm cận ngang: \( y = 1 \) - Tâm đối xứng: \( I(-1; 1) \) - Giao điểm với trục hoành: \( x = -\frac{b}{a} \) - Giao điểm với trục tung: \( y = \frac{b}{d} \) Có thể có lỗi trong đề bài ở phần c) và d).