câu trả lời đúng sai

Câu 3: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phần một cách chi tiết. a) Tính đạo hàm của hàm số: Hàm số đã cho là \( y = x + 1 + \frac{1}{x-2} \). Để tính đạo hàm \( y' \), ta sử dụng quy tắc đạo hàm của tổng và đạo hàm của phân thức: - Đạo hàm của \( x \) là 1. - Đạo hàm của hằng số 1 là 0. - Đạo hàm của \( \frac{1}{x-2} \) là \( -\frac{1}{(x-2)^2} \). Vậy đạo hàm của hàm số là: \[ y' = 1 + 0 - \frac{1}{(x-2)^2} = 1 - \frac{1}{(x-2)^2} \] Tuy nhiên, để kiểm tra lại kết quả đã cho, ta cần tính lại: \[ y' = 1 - \frac{1}{(x-2)^2} = \frac{(x-2)^2 - 1}{(x-2)^2} = \frac{x^2 - 4x + 3}{(x-2)^2} \] Vậy kết quả a) là đúng. b) Tiệm cận xiên: Để tìm tiệm cận xiên, ta xét giới hạn của hàm số khi \( x \to \pm \infty \). \[ y = x + 1 + \frac{1}{x-2} \] Khi \( x \to \infty \), \(\frac{1}{x-2} \to 0\), do đó: \[ y \approx x + 1 \] Tuy nhiên, để tìm tiệm cận xiên chính xác, ta cần viết lại hàm số dưới dạng: \[ y = x + 1 + \frac{1}{x-2} = x + \left(1 + \frac{1}{x-2}\right) \] Khi \( x \to \infty \), \(\frac{1}{x-2} \to 0\), do đó: \[ y \approx x + 1 \] Vậy tiệm cận xiên là \( y = x + 1 \), không phải \( y = x - 2 \). Kết quả b) là sai. c) Tiệm cận đứng: Tiệm cận đứng xảy ra khi mẫu số của phân thức bằng 0 mà tử số không bằng 0. Xét phân thức \(\frac{1}{x-2}\), điều kiện xác định là \( x \neq 2 \). Vậy tiệm cận đứng là \( x = 2 \), không phải \( x = -1 \). Kết quả c) là sai. d) Cực trị của hàm số: Để tìm cực trị, ta giải phương trình \( y' = 0 \). \[ y' = \frac{x^2 - 4x + 3}{(x-2)^2} = 0 \] Tử số bằng 0 khi: \[ x^2 - 4x + 3 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3) = 0 \] Vậy \( x = 1 \) hoặc \( x = 3 \). - Tại \( x = 1 \), xét dấu của \( y' \) quanh điểm này để xác định cực trị: - Khi \( x < 1 \), \( y' > 0 \). - Khi \( x > 1 \), \( y' < 0 \). Vậy hàm số đạt cực đại tại \( x = 1 \). - Tại \( x = 3 \), xét dấu của \( y' \) quanh điểm này để xác định cực trị: - Khi \( x < 3 \), \( y' < 0 \). - Khi \( x > 3 \), \( y' > 0 \). Vậy hàm số đạt cực tiểu tại \( x = 3 \). Kết quả d) là đúng. Tóm lại, các kết quả đúng là a) và d). Câu 4: Để giải quyết bài toán này, ta cần kiểm tra từng điều kiện đã cho và xác định các hệ số \(a\), \(b\), \(c\), \(m\), \(n\) của hàm số \(y = f(x) = \frac{ax^2 + bx + c}{mx + n}\). a) Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng: \(x = 0\). Điều này có nghĩa là mẫu số phải bằng 0 khi \(x = 0\), tức là \(n = 0\). Do đó, \(m \neq 0\) và \(mx + n = mx\). b) Đồ thị hàm số có tiệm cận xiên: \(y = x\). Để có tiệm cận xiên \(y = x\), khi \(x \to \infty\), tỉ số của tử số và mẫu số phải có dạng \(x + \frac{\text{hằng số}}{x}\). Điều này có nghĩa là: \[ \frac{ax^2 + bx + c}{mx} \approx x \quad \Rightarrow \quad \frac{a}{m} = 1 \quad \Rightarrow \quad a = m \] c) Đồ thị đi qua điểm \(A(1;0)\). Thay \(x = 1\) và \(y = 0\) vào hàm số: \[ \frac{a(1)^2 + b(1) + c}{m(1) + n} = 0 \quad \Rightarrow \quad a + b + c = 0 \] d) Hàm số \(y = f(x)\) có dạng \(f(x) = x + \frac{-2}{x+1}\). So sánh với dạng đã cho, ta có: \[ f(x) = \frac{ax^2 + bx + c}{mx + n} = x + \frac{-2}{x+1} \] Từ đây, ta suy ra: - \(m = 1\) và \(n = 1\) (vì mẫu số là \(x+1\)). - \(a = 1\) (vì \(a = m\)). - Tử số của phần phân thức là \(-2\), do đó \(ax^2 + bx + c - (mx^2 + nx) = -2\). Thay các giá trị đã biết vào: \[ x^2 + bx + c - (x^2 + x) = -2 \quad \Rightarrow \quad bx + c - x = -2 \] Suy ra: - \(b - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad b = 1\) - \(c = -2\) Kết luận: Hàm số có dạng: \[ f(x) = \frac{x^2 + x - 2}{x + 1} \] Các điều kiện đã cho đều thỏa mãn với hàm số này.