Giải giúo tttttttt

Câu 21: Để xác định các đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \( y = \frac{2x+1+\sqrt{1+x}}{\sqrt{x^2+x-2}} \), ta cần xét giới hạn của hàm số khi \( x \to \pm \infty \). Bước 1: Điều kiện xác định (ĐKXĐ) của hàm số Hàm số xác định khi: - Mẫu số khác 0: \(\sqrt{x^2 + x - 2} \neq 0\), tức là \(x^2 + x - 2 > 0\). - Biểu thức dưới căn không âm: \(1 + x \geq 0\), tức là \(x \geq -1\). Giải bất phương trình \(x^2 + x - 2 > 0\): - Phương trình \(x^2 + x - 2 = 0\) có nghiệm \(x = 1\) và \(x = -2\). - Bảng xét dấu cho \(x^2 + x - 2\): - \(x < -2\): \(x^2 + x - 2 > 0\) - \(-2 < x < 1\): \(x^2 + x - 2 < 0\) - \(x > 1\): \(x^2 + x - 2 > 0\) Kết hợp với điều kiện \(x \geq -1\), ta có ĐKXĐ: \(x \in [-1, -2) \cup (1, +\infty)\). Bước 2: Tìm giới hạn khi \(x \to +\infty\) và \(x \to -\infty\) 1. Giới hạn khi \(x \to +\infty\): Ta có: \[ y = \frac{2x + 1 + \sqrt{1+x}}{\sqrt{x^2 + x - 2}} \] Chia cả tử và mẫu cho \(x\): \[ y = \frac{2 + \frac{1}{x} + \frac{\sqrt{1+x}}{x}}{\sqrt{1 + \frac{1}{x} - \frac{2}{x^2}}} \] Khi \(x \to +\infty\), \(\frac{1}{x} \to 0\) và \(\frac{\sqrt{1+x}}{x} \to 0\), do đó: \[ y \to \frac{2 + 0 + 0}{\sqrt{1 + 0 - 0}} = 2 \] 2. Giới hạn khi \(x \to -\infty\): Tương tự, chia cả tử và mẫu cho \(x\): \[ y = \frac{2 + \frac{1}{x} + \frac{\sqrt{1+x}}{x}}{\sqrt{1 + \frac{1}{x} - \frac{2}{x^2}}} \] Khi \(x \to -\infty\), \(\frac{1}{x} \to 0\) và \(\frac{\sqrt{1+x}}{x} \to 0\), do đó: \[ y \to \frac{2 + 0 + 0}{\sqrt{1 + 0 - 0}} = 2 \] Kết luận: - Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = 2\). Đánh giá các mệnh đề: a) Đúng. Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = 2\). b) Sai. Đồ thị hàm số không có đường tiệm cận ngang là \(y = 0\). c) Sai. Đồ thị hàm số không có đường tiệm cận ngang là \(y = -2\). d) Sai. Đồ thị hàm số chỉ có một đường tiệm cận ngang là \(y = 2\). Câu 22: Để giải quyết các mệnh đề liên quan đến hàm số \( y = \frac{x+2}{\sqrt{1-x^2}} \), ta cần phân tích từng mệnh đề một cách chi tiết. a) Hàm số có tập xác định \( D = (-1; 1) \). - Điều kiện xác định (ĐKXĐ) của hàm số là mẫu số phải khác 0 và biểu thức dưới căn phải không âm. Cụ thể: - \(\sqrt{1-x^2} \neq 0\) nghĩa là \(1-x^2 > 0\). - Điều này tương đương với \(-1 < x < 1\). Vậy mệnh đề a) đúng. b) Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang là \( y = 1 \) và \( y = -1 \). - Để tìm tiệm cận ngang, ta xét giới hạn của hàm số khi \( x \to 1^- \) và \( x \to -1^+ \). - Khi \( x \to 1^- \), \(\sqrt{1-x^2} \to 0^+\) và \( y \to +\infty \) hoặc \(-\infty\) tùy thuộc vào dấu của tử số. - Khi \( x \to -1^+ \), \(\sqrt{1-x^2} \to 0^+\) và \( y \to +\infty \) hoặc \(-\infty\) tùy thuộc vào dấu của tử số. Do đó, hàm số không có tiệm cận ngang. Mệnh đề b) sai. c) Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận đứng là \( x = 1 \) và \( x = -1 \). - Tiệm cận đứng xảy ra khi mẫu số tiến tới 0 trong khi tử số không tiến tới 0. - Khi \( x \to 1^- \) hoặc \( x \to -1^+ \), \(\sqrt{1-x^2} \to 0\) và tử số không tiến tới 0. Vậy hàm số có 2 tiệm cận đứng tại \( x = 1 \) và \( x = -1 \). Mệnh đề c) đúng. d) Hàm số có một cực trị. - Để tìm cực trị, ta cần xét đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{x+2}{\sqrt{1-x^2}} \right). \] Sử dụng quy tắc đạo hàm của phân thức, ta có: \[ y' = \frac{\sqrt{1-x^2} - \frac{(x+2)x}{\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2} = \frac{\sqrt{1-x^2} - x(x+2)}{(1-x^2)\sqrt{1-x^2}}. \] - Giải phương trình \( y' = 0 \) để tìm điểm cực trị: \[ \sqrt{1-x^2} - x(x+2) = 0. \] Giải phương trình này sẽ cho ta các điểm cực trị. Tuy nhiên, việc giải phương trình này có thể phức tạp và cần kiểm tra thêm. Nhưng với điều kiện xác định và tính chất của hàm số, ta có thể kết luận rằng hàm số có thể có cực trị trong khoảng \((-1, 1)\). Vậy mệnh đề d) có thể đúng, nhưng cần kiểm tra thêm để xác định chính xác số lượng cực trị. Tóm lại: - Mệnh đề a) đúng. - Mệnh đề b) sai. - Mệnh đề c) đúng. - Mệnh đề d) cần kiểm tra thêm để xác định chính xác. Câu 23: Để xác định các mệnh đề đúng hay sai, ta cần phân tích hàm số $y = \frac{x+1}{\sqrt{x^2-4}}$. 1. Điều kiện xác định (ĐKXĐ): Hàm số xác định khi mẫu số khác 0 và biểu thức dưới căn không âm. Do đó, ta có điều kiện: - $\sqrt{x^2 - 4} \neq 0 \Rightarrow x^2 - 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 2$. - $x^2 - 4 \geq 0 \Rightarrow x \leq -2$ hoặc $x \geq 2$. Vậy, hàm số xác định khi $x \leq -2$ hoặc $x \geq 2$. 2. Tiệm cận đứng: Tiệm cận đứng xảy ra khi mẫu số tiến tới 0 trong khi tử số không tiến tới 0. Xét các giá trị $x = 2$ và $x = -2$: - Khi $x \to 2^+$ hoặc $x \to 2^-$, $\sqrt{x^2 - 4} \to 0$ và $x + 1 \to 3$. Do đó, hàm số có tiệm cận đứng tại $x = 2$. - Khi $x \to -2^+$ hoặc $x \to -2^-$, $\sqrt{x^2 - 4} \to 0$ và $x + 1 \to -1$. Do đó, hàm số có tiệm cận đứng tại $x = -2$. 3. Tiệm cận ngang: Tiệm cận ngang được xác định khi $x \to \pm \infty$. Xét giới hạn: - Khi $x \to +\infty$, $\sqrt{x^2 - 4} \approx x$, do đó $y \approx \frac{x+1}{x} = 1 + \frac{1}{x} \to 1$. - Khi $x \to -\infty$, $\sqrt{x^2 - 4} \approx -x$, do đó $y \approx \frac{x+1}{-x} = -1 - \frac{1}{x} \to -1$. Vậy, hàm số có hai tiệm cận ngang là $y = 1$ và $y = -1$. Kết luận từng mệnh đề: a) Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang. Sai. Hàm số có hai tiệm cận ngang $y = 1$ và $y = -1$. b) Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng là $y=1,~y=-1$ và hai đường tiệm cận ngang là $x=2,~x=-2$. Sai. Tiệm cận đứng là $x = 2$ và $x = -2$, tiệm cận ngang là $y = 1$ và $y = -1$. c) Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang là $y=1,~y=-1$ và hai đường tiệm cận đứng là $x=2,~x=-3$. Sai. Tiệm cận đứng là $x = 2$ và $x = -2$. d) Đồ thị hàm số có đúng một đường tiệm cận ngang là $y=1,$ , hai đường tiệm cận đứng là $x=2,~x=-2.$ Sai. Hàm số có hai tiệm cận ngang $y = 1$ và $y = -1$. Câu 24: Để xác định tính đúng sai của mệnh đề "Nếu \( m > -4 \) đồ thị hàm số có ít nhất một tiệm cận đứng và một tiệm cận ngang", chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra các điều kiện liên quan đến tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của hàm số \( y = \frac{5x-3}{x^2+4x-m} \). Bước 1: Xác định tiệm cận đứng Tiệm cận đứng xảy ra khi mẫu số của hàm số bằng 0, tức là: \[ x^2 + 4x - m = 0 \] Phương trình này có nghiệm khi: \[ \Delta = 4^2 - 4(1)(-m) = 16 + 4m \geq 0 \] \[ 16 + 4m \geq 0 \] \[ 4m \geq -16 \] \[ m \geq -4 \] Do đó, nếu \( m > -4 \), phương trình \( x^2 + 4x - m = 0 \) có hai nghiệm thực phân biệt, nghĩa là đồ thị hàm số có ít nhất một tiệm cận đứng. Bước 2: Xác định tiệm cận ngang Tiệm cận ngang của hàm số \( y = \frac{5x-3}{x^2+4x-m} \) được xác định bằng cách xét giới hạn của hàm số khi \( x \to \pm\infty \): \[ \lim_{x \to \pm\infty} \frac{5x-3}{x^2+4x-m} \] Chia cả tử số và mẫu số cho \( x^2 \): \[ \lim_{x \to \pm\infty} \frac{\frac{5x}{x^2} - \frac{3}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2} + \frac{4x}{x^2} - \frac{m}{x^2}} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{\frac{5}{x} - \frac{3}{x^2}}{1 + \frac{4}{x} - \frac{m}{x^2}} \] Khi \( x \to \pm\infty \), các hạng tử chứa \( \frac{1}{x} \) và \( \frac{1}{x^2} \) tiến về 0: \[ \lim_{x \to \pm\infty} \frac{\frac{5}{x} - \frac{3}{x^2}}{1 + \frac{4}{x} - \frac{m}{x^2}} = \frac{0 - 0}{1 + 0 - 0} = 0 \] Do đó, tiệm cận ngang của hàm số là \( y = 0 \). Kết luận Nếu \( m > -4 \), đồ thị hàm số \( y = \frac{5x-3}{x^2+4x-m} \) có ít nhất một tiệm cận đứng và một tiệm cận ngang. Mệnh đề đúng.