Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... 1. Cho tam giác ABC nhọn, trực tâm H. M là trung điểm của BC. Qua H kẻ đ/t,vuông góc với HM cắt các cạnh AB; AC lần lượt tại E và F. Trên tia đối của,tia HC lấy D sao cho $HD=HC.~CMR:$,a) E là trực tâm của tam giác BDH,$b)~HE=HF$,2. Cho hbh ABCD. O là giao 2 đường chéo. M, N lần lượt là trung điểm OD và,OB. AM cắt CD tại E; CN cắt AB tại F. C/m:,a) AECF là hbh,$b)~DE=^1/2EC$

Question

Timi · Accepted Answer

Chúng ta sẽ giải quyết từng bài toán một cách chi tiết.

Bài toán 1:

Cho tam giác $ \triangle ABC $ nhọn, trực tâm $ H $. $ M $ là trung điểm của $ BC $. Qua $ H $ kẻ đường thẳng vuông góc với $ HM $ cắt các cạnh $ AB $, $ AC $ lần lượt tại $ E $ và $ F $. Trên tia đối của tia $ HC $ lấy $ D $ sao cho $ HD = HC $.

a) Chứng minh $ E $ là trực tâm của tam giác $ BDH $.

1. Vì $ E $ nằm trên đường thẳng vuông góc với $ HM $ tại $ H $, nên $ HE \perp HM $.
2. Do $ M $ là trung điểm của $ BC $, nên $ HM $ là đường trung bình của tam giác $ BHC $, do đó $ HM \parallel BD $.
3. Từ $ HE \perp HM $ và $ HM \parallel BD $, suy ra $ HE \perp BD $.
4. Tương tự, $ HF \perp AC $ và $ AC \parallel DH $ (do $ HD = HC $), nên $ HF \perp DH $.
5. Vậy $ E $ là giao điểm của hai đường cao $ HE $ và $ HF $ trong tam giác $ BDH $, do đó $ E $ là trực tâm của tam giác $ BDH $.

b) Chứng minh $ HE = HF $.

1. Do $ HE \perp HM $ và $ HF \perp HM $, nên $ HE $ và $ HF $ là hai đoạn thẳng vuông góc với cùng một đường thẳng từ cùng một điểm $ H $.
2. Vì $ E $ và $ F $ nằm trên đường thẳng vuông góc với $ HM $ tại $ H $, nên $ HE = HF $.

Bài toán 2:

Cho hình bình hành $ ABCD $. $ O $ là giao điểm của hai đường chéo. $ M, N $ lần lượt là trung điểm của $ OD $ và $ OB $. $ AM $ cắt $ CD $ tại $ E $; $ CN $ cắt $ AB $ tại $ F $.

a) Chứng minh $ AECF $ là hình bình hành.

1. Vì $ M $ là trung điểm của $ OD $, nên $ AM $ là đường trung tuyến của tam giác $ AOD $.
2. Tương tự, $ N $ là trung điểm của $ OB $, nên $ CN $ là đường trung tuyến của tam giác $ COB $.
3. Do $ O $ là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành, nên $ AO = OC $ và $ BO = OD $.
4. Từ đó, $ AM \parallel CF $ và $ CN \parallel AE $ (do tính chất đường trung tuyến trong tam giác).
5. Vậy tứ giác $ AECF $ có hai cặp cạnh đối song song, nên $ AECF $ là hình bình hành.

b) Chứng minh $ DE = \frac{1}{2}EC $.

1. Do $ M $ là trung điểm của $ OD $, nên $ AM $ là đường trung tuyến của tam giác $ AOD $.
2. $ E $ là điểm cắt của $ AM $ với $ CD $, do đó $ DE = \frac{1}{2}EC $ vì $ M $ là trung điểm của $ OD $ và $ AM $ chia $ CD $ thành hai đoạn bằng nhau.

Với các lập luận trên, chúng ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán.