Câu 5 nhé.

Câu 5: Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức \( A = x^2 - 4x + 5 \). Bước 1: Xác định dạng của biểu thức. Biểu thức \( A = x^2 - 4x + 5 \) là một đa thức bậc hai. Bước 2: Tìm đỉnh của parabol. Biểu thức \( A = x^2 - 4x + 5 \) có dạng \( ax^2 + bx + c \) với \( a = 1 \), \( b = -4 \), và \( c = 5 \). Đỉnh của parabol này sẽ cho chúng ta GTNN hoặc GTLN của biểu thức. Bước 3: Tính tọa độ đỉnh của parabol. Tọa độ đỉnh \( x \) của parabol \( ax^2 + bx + c \) được tính bằng công thức: \[ x = -\frac{b}{2a} \] Thay \( a = 1 \) và \( b = -4 \): \[ x = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2 \] Bước 4: Thay giá trị \( x = 2 \) vào biểu thức để tìm giá trị của \( A \). \[ A = (2)^2 - 4(2) + 5 = 4 - 8 + 5 = 1 \] Bước 5: Kết luận. Do \( a = 1 > 0 \), đồ thị của biểu thức \( A = x^2 - 4x + 5 \) mở lên, do đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức đạt được tại đỉnh \( x = 2 \). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A = x^2 - 4x + 5 \) là 1, đạt được khi \( x = 2 \). Không tồn tại giá trị lớn nhất vì biểu thức \( A = x^2 - 4x + 5 \) không bị chặn trên. Đáp số: - Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A = x^2 - 4x + 5 \) là 1, đạt được khi \( x = 2 \). - Không tồn tại giá trị lớn nhất. Câu 5: Để chứng minh rằng tồn tại không quá hai giá trị của \( k \) sao cho \( C_k^n, C_{k+1}^n, C_{k+2}^n \) là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của tổ hợp và tính chất của cấp số cộng. Bước 1: Điều kiện để ba số hạng liên tiếp tạo thành cấp số cộng Ba số \( a, b, c \) tạo thành cấp số cộng nếu và chỉ nếu: \[ 2b = a + c \] Áp dụng vào trường hợp này, ta có: \[ 2C_{k+1}^n = C_k^n + C_{k+2}^n \] Bước 2: Biến đổi điều kiện trên Sử dụng công thức tổ hợp: \[ C_k^n = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] \[ C_{k+1}^n = \frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!} \] \[ C_{k+2}^n = \frac{n!}{(k+2)!(n-k-2)!} \] Thay vào điều kiện: \[ 2 \cdot \frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!} = \frac{n!}{k!(n-k)!} + \frac{n!}{(k+2)!(n-k-2)!} \] Bước 3: Rút gọn phương trình Chia cả hai vế cho \( n! \): \[ 2 \cdot \frac{1}{(k+1)!(n-k-1)!} = \frac{1}{k!(n-k)!} + \frac{1}{(k+2)!(n-k-2)!} \] Nhân cả hai vế với \( (k+2)!(n-k)! \): \[ 2 \cdot \frac{(k+2)!}{(k+1)!(n-k-1)!} = \frac{(k+2)!}{k!(n-k)!} + \frac{(k+2)!}{(k+2)!(n-k-2)!} \] Rút gọn: \[ 2 \cdot \frac{(k+2)}{(n-k-1)} = \frac{(k+2)(k+1)}{(n-k)(n-k-1)} + 1 \] Bước 4: Giải phương trình \[ 2(k+2) = \frac{(k+2)(k+1)}{(n-k)(n-k-1)} + 1 \] Nhân cả hai vế với \( (n-k)(n-k-1) \): \[ 2(k+2)(n-k)(n-k-1) = (k+2)(k+1) + (n-k)(n-k-1) \] Rút gọn và sắp xếp lại: \[ 2(k+2)(n-k)(n-k-1) - (k+2)(k+1) = (n-k)(n-k-1) \] Bước 5: Tìm nghiệm của phương trình Phương trình trên là một phương trình bậc hai theo \( k \). Một phương trình bậc hai có tối đa hai nghiệm thực. Do đó, tồn tại không quá hai giá trị của \( k \) sao cho \( C_k^n, C_{k+1}^n, C_{k+2}^n \) là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng. Kết luận Tồn tại không quá hai giá trị của \( k \) sao cho \( C_k^n, C_{k+1}^n, C_{k+2}^n \) là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng.