Làm giúp mình

Câu 23: Để tìm số điểm cực đại của hàm số \( y = f(x) \), chúng ta cần xét dấu của đạo hàm \( f'(x) \). Đạo hàm của hàm số đã cho là: \[ f'(x) = (2x - 3)(x + 1)^2(x - 2)^3(4 - x) \] Bước 1: Tìm các nghiệm của \( f'(x) = 0 \): \[ (2x - 3)(x + 1)^2(x - 2)^3(4 - x) = 0 \] Các nghiệm của phương trình này là: \[ 2x - 3 = 0 \implies x = \frac{3}{2} \] \[ (x + 1)^2 = 0 \implies x = -1 \] \[ (x - 2)^3 = 0 \implies x = 2 \] \[ 4 - x = 0 \implies x = 4 \] Bước 2: Xét dấu của \( f'(x) \) trong các khoảng xác định bởi các nghiệm trên: \[ (-\infty, -1), (-1, \frac{3}{2}), (\frac{3}{2}, 2), (2, 4), (4, \infty) \] - Trong khoảng \( (-\infty, -1) \): \[ (2x - 3) < 0, (x + 1)^2 > 0, (x - 2)^3 < 0, (4 - x) > 0 \] \[ f'(x) = (+)(+)(-)(+) = - \] - Trong khoảng \( (-1, \frac{3}{2}) \): \[ (2x - 3) < 0, (x + 1)^2 > 0, (x - 2)^3 < 0, (4 - x) > 0 \] \[ f'(x) = (+)(+)(-)(+) = - \] - Trong khoảng \( (\frac{3}{2}, 2) \): \[ (2x - 3) > 0, (x + 1)^2 > 0, (x - 2)^3 < 0, (4 - x) > 0 \] \[ f'(x) = (+)(+)(-)(+) = - \] - Trong khoảng \( (2, 4) \): \[ (2x - 3) > 0, (x + 1)^2 > 0, (x - 2)^3 > 0, (4 - x) > 0 \] \[ f'(x) = (+)(+)(+)(+) = + \] - Trong khoảng \( (4, \infty) \): \[ (2x - 3) > 0, (x + 1)^2 > 0, (x - 2)^3 > 0, (4 - x) < 0 \] \[ f'(x) = (+)(+)(+)(-) = - \] Bước 3: Xác định các điểm cực đại: - Tại \( x = -1 \): \( f'(x) \) không đổi dấu. - Tại \( x = \frac{3}{2} \): \( f'(x) \) không đổi dấu. - Tại \( x = 2 \): \( f'(x) \) đổi dấu từ âm sang dương, do đó đây là điểm cực tiểu. - Tại \( x = 4 \): \( f'(x) \) đổi dấu từ dương sang âm, do đó đây là điểm cực đại. Vậy số điểm cực đại của hàm số \( y = f(x) \) là 1. Đáp án: D. 1 Câu 24: Để tìm số điểm cực trị của hàm số \( y = f(x) \) có đạo hàm \( f'(x) = x(x+3)(x-1)^2 \), chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tìm các điểm tới hạn: - Các điểm tới hạn là các giá trị của \( x \) sao cho \( f'(x) = 0 \). - Ta có \( f'(x) = x(x+3)(x-1)^2 \). - Giải phương trình \( x(x+3)(x-1)^2 = 0 \): \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x + 3 = 0 \quad \text{hoặc} \quad (x-1)^2 = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = -3 \quad \text{hoặc} \quad x = 1 \] 2. Xác định dấu của \( f'(x) \) trong các khoảng giữa các điểm tới hạn: - Các khoảng cần xét là \( (-\infty, -3) \), \( (-3, 0) \), \( (0, 1) \), và \( (1, \infty) \). - Khoảng \( (-\infty, -3) \): Chọn \( x = -4 \): \[ f'(-4) = (-4)(-4+3)((-4)-1)^2 = (-4)(-1)(-5)^2 = (-4)(-1)(25) = 100 > 0 \] Vậy \( f'(x) > 0 \) trong khoảng \( (-\infty, -3) \). - Khoảng \( (-3, 0) \): Chọn \( x = -1 \): \[ f'(-1) = (-1)(-1+3)((-1)-1)^2 = (-1)(2)(-2)^2 = (-1)(2)(4) = -8 < 0 \] Vậy \( f'(x) < 0 \) trong khoảng \( (-3, 0) \). - Khoảng \( (0, 1) \): Chọn \( x = 0.5 \): \[ f'(0.5) = (0.5)(0.5+3)((0.5)-1)^2 = (0.5)(3.5)(-0.5)^2 = (0.5)(3.5)(0.25) = 0.4375 > 0 \] Vậy \( f'(x) > 0 \) trong khoảng \( (0, 1) \). - Khoảng \( (1, \infty) \): Chọn \( x = 2 \): \[ f'(2) = (2)(2+3)((2)-1)^2 = (2)(5)(1)^2 = (2)(5)(1) = 10 > 0 \] Vậy \( f'(x) > 0 \) trong khoảng \( (1, \infty) \). 3. Xác định các điểm cực trị: - Tại \( x = -3 \): \( f'(x) \) đổi dấu từ dương sang âm, nên \( x = -3 \) là điểm cực đại. - Tại \( x = 0 \): \( f'(x) \) đổi dấu từ âm sang dương, nên \( x = 0 \) là điểm cực tiểu. - Tại \( x = 1 \): \( f'(x) \) không đổi dấu (vẫn dương), nên \( x = 1 \) không phải là điểm cực trị. Vậy hàm số có 2 điểm cực trị. Đáp án: B. 2. Câu 25: Để tìm số điểm cực trị của hàm số \( y = f(x) \), chúng ta cần xét dấu của đạo hàm \( f'(x) \). Đạo hàm đã cho là: \[ f'(x) = x(x-1)^2(x+3) \] Bước 1: Tìm các nghiệm của \( f'(x) = 0 \): \[ x(x-1)^2(x+3) = 0 \] Các nghiệm của phương trình này là: \[ x = 0, \quad x = 1, \quad x = -3 \] Bước 2: Xét dấu của \( f'(x) \) trên các khoảng xác định bởi các nghiệm này. - Khoảng \( (-\infty, -3) \): Chọn \( x = -4 \): \[ f'(-4) = (-4)((-4)-1)^2((-4)+3) = (-4)(-5)^2(-1) = (-4)(25)(-1) = 100 > 0 \] - Khoảng \( (-3, 0) \): Chọn \( x = -1 \): \[ f'(-1) = (-1)((-1)-1)^2((-1)+3) = (-1)(-2)^2(2) = (-1)(4)(2) = -8 < 0 \] - Khoảng \( (0, 1) \): Chọn \( x = 0.5 \): \[ f'(0.5) = (0.5)((0.5)-1)^2((0.5)+3) = (0.5)(-0.5)^2(3.5) = (0.5)(0.25)(3.5) = 0.4375 > 0 \] - Khoảng \( (1, \infty) \): Chọn \( x = 2 \): \[ f'(2) = (2)((2)-1)^2((2)+3) = (2)(1)^2(5) = (2)(1)(5) = 10 > 0 \] Bước 3: Xác định các điểm cực trị dựa trên sự thay đổi dấu của \( f'(x) \): - Tại \( x = -3 \): Đạo hàm chuyển từ dương sang âm, do đó đây là điểm cực đại. - Tại \( x = 0 \): Đạo hàm chuyển từ âm sang dương, do đó đây là điểm cực tiểu. - Tại \( x = 1 \): Đạo hàm không thay đổi dấu (vẫn dương), do đó đây không phải là điểm cực trị. Vậy, số điểm cực trị của hàm số \( y = f(x) \) là 2. Đáp án: B. 2