Giup mik vs

Câu 1: Để xác định khoảng đồng biến của hàm số dựa vào bảng biến thiên, ta cần quan sát chiều mũi tên của hàm số trên từng khoảng. Từ bảng biến thiên, ta thấy: - Trên khoảng $(-\infty; -1)$, mũi tên đi xuống, hàm số nghịch biến. - Trên khoảng $(-1; 0)$, mũi tên đi lên, hàm số đồng biến. - Trên khoảng $(0; 1)$, mũi tên đi xuống, hàm số nghịch biến. - Trên khoảng $(1; +\infty)$, mũi tên đi lên, hàm số đồng biến. Vậy, hàm số đồng biến trên khoảng $(-1; 0)$. Do đó, đáp án đúng là $D.~(-1; 0)$. Câu 2: Để xác định số điểm cực trị của hàm số \( f(x) \), ta cần xem xét bảng xét dấu của đạo hàm \( f'(x) \). 1. Điểm \( x = -1 \): - Trước \( x = -1 \), \( f'(x) = 0 \). - Sau \( x = -1 \), \( f'(x) = 0 \). Vì \( f'(x) \) không đổi dấu qua \( x = -1 \), nên \( x = -1 \) không phải là điểm cực trị. 2. Điểm \( x = 0 \): - Trước \( x = 0 \), \( f'(x) = 0 \). - Sau \( x = 0 \), \( f'(x) = 0 \). Vì \( f'(x) \) không đổi dấu qua \( x = 0 \), nên \( x = 0 \) không phải là điểm cực trị. 3. Điểm \( x = 1 \): - Trước \( x = 1 \), \( f'(x) = 0 \). - Sau \( x = 1 \), \( f'(x) = 0 \). Vì \( f'(x) \) không đổi dấu qua \( x = 1 \), nên \( x = 1 \) không phải là điểm cực trị. Kết luận: Hàm số không có điểm cực trị nào. Vậy, số điểm cực trị của hàm số là \( \boxed{0} \). Câu 3: Để giải quyết bài toán này, ta cần xác định giá trị lớn nhất (M) và giá trị nhỏ nhất (m) của hàm số \( y = f(x) \) trên đoạn \([-1; 3]\) dựa vào đồ thị. 1. Xác định giá trị lớn nhất (M): - Quan sát đồ thị, ta thấy điểm cao nhất trên đoạn \([-1; 3]\) là tại \( x = 0 \) với \( y = 3 \). - Vậy, giá trị lớn nhất \( M = 3 \). 2. Xác định giá trị nhỏ nhất (m): - Quan sát đồ thị, ta thấy điểm thấp nhất trên đoạn \([-1; 3]\) là tại \( x = 2 \) với \( y = -2 \). - Vậy, giá trị nhỏ nhất \( m = -2 \). 3. Tính \( M - m \): \[ M - m = 3 - (-2) = 3 + 2 = 5 \] Do đó, giá trị của \( M - m \) là 5. Vậy đáp án đúng là C. 5. Câu 4: Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) = x^3 - 21x \) trên đoạn \([2; 19]\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ f'(x) = 3x^2 - 21 \] 2. Giải phương trình \( f'(x) = 0 \) để tìm các điểm tới hạn: \[ 3x^2 - 21 = 0 \implies 3x^2 = 21 \implies x^2 = 7 \implies x = \pm \sqrt{7} \] Vì \( x \) nằm trong đoạn \([2; 19]\), nên chỉ lấy \( x = \sqrt{7} \). 3. Tính giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn và tại các đầu mút của đoạn: - Tại \( x = 2 \): \[ f(2) = 2^3 - 21 \cdot 2 = 8 - 42 = -34 \] - Tại \( x = \sqrt{7} \): \[ f(\sqrt{7}) = (\sqrt{7})^3 - 21 \cdot \sqrt{7} = 7\sqrt{7} - 21\sqrt{7} = -14\sqrt{7} \] - Tại \( x = 19 \): \[ f(19) = 19^3 - 21 \cdot 19 = 6859 - 399 = 6460 \] 4. So sánh các giá trị đã tính để tìm giá trị nhỏ nhất: - \( f(2) = -34 \) - \( f(\sqrt{7}) = -14\sqrt{7} \approx -36.5 \) - \( f(19) = 6460 \) Trong các giá trị này, giá trị nhỏ nhất là \( -14\sqrt{7} \). Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) = x^3 - 21x \) trên đoạn \([2; 19]\) là: \[ \boxed{-14\sqrt{7}} \] Câu 5: Để tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \( y = \frac{x-2}{x+1} \), chúng ta cần xét giới hạn của hàm số khi \( x \) tiến đến vô cùng (\( +\infty \)) và âm vô cùng (\( -\infty \)). 1. Xét giới hạn của hàm số khi \( x \to +\infty \): \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{x-2}{x+1} \] Ta chia cả tử số và mẫu số cho \( x \): \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{x-2}{x}}{\frac{x+1}{x}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1 - \frac{2}{x}}{1 + \frac{1}{x}} \] Khi \( x \to +\infty \), các hạng tử \(\frac{2}{x}\) và \(\frac{1}{x}\) đều tiến về 0: \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1 \] 2. Xét giới hạn của hàm số khi \( x \to -\infty \): \[ \lim_{x \to -\infty} \frac{x-2}{x+1} \] Tương tự như trên, ta chia cả tử số và mẫu số cho \( x \): \[ \lim_{x \to -\infty} \frac{\frac{x-2}{x}}{\frac{x+1}{x}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{1 - \frac{2}{x}}{1 + \frac{1}{x}} \] Khi \( x \to -\infty \), các hạng tử \(\frac{2}{x}\) và \(\frac{1}{x}\) đều tiến về 0: \[ \lim_{x \to -\infty} \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1 \] Vậy, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \( y = \frac{x-2}{x+1} \) là \( y = 1 \). Đáp án đúng là: \( B.~y=1 \). Câu 6: A. Đúng vì \( f'(x) = -6x^2 + 6x - 3 < 0 \) với mọi \( x \in \mathbb{R} \) B. Đúng vì \( a < b \) thì \( f(a) > f(b) \) C. Đúng vì \( f(0) = 0 \) và \( f(x) \) nghịch biến trên \( \mathbb{R} \) nên \( f(b) < 0 \) D. Sai vì \( a < b \) thì \( f(a) > f(b) \) Đáp án: D Câu 7: Để xác định hàm số từ bảng biến thiên, ta cần phân tích các đặc điểm của bảng biến thiên và so sánh với các hàm số đã cho. 1. Điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số không xác định tại \(x = 1\). Do đó, mẫu số của hàm phải có nghiệm \(x = 1\). 2. Dấu của đạo hàm \(y'\): - Trên khoảng \((-∞, 0)\), \(y'\) dương, hàm số đồng biến. - Tại \(x = 0\), \(y' = 0\), hàm số có cực đại. - Trên khoảng \((0, 1)\), \(y'\) âm, hàm số nghịch biến. - Tại \(x = 1\), hàm số không xác định. - Trên khoảng \((1, 2)\), \(y'\) âm, hàm số nghịch biến. - Tại \(x = 2\), \(y' = 0\), hàm số có cực tiểu. - Trên khoảng \((2, +∞)\), \(y'\) dương, hàm số đồng biến. 3. Giá trị tại các điểm đặc biệt: - Tại \(x = 0\), \(y = 2\). - Tại \(x = 2\), \(y = 6\). 4. So sánh với các hàm số đã cho: - Hàm số A: \(y = \frac{x^2 + 4x - 2}{x - 1}\) - Hàm số B: \(y = \frac{x^2 + 2x - 2}{x - 1}\) - Hàm số C: \(y = \frac{x^2 + 2x - 2}{x + 1}\) - Hàm số D: \(y = \frac{x^2 + 2}{x - 1}\) Ta cần kiểm tra hàm số B: \(y = \frac{x^2 + 2x - 2}{x - 1}\). - Tính giá trị tại \(x = 0\): \[ y(0) = \frac{0^2 + 2 \cdot 0 - 2}{0 - 1} = \frac{-2}{-1} = 2 \] Phù hợp với bảng biến thiên. - Tính giá trị tại \(x = 2\): \[ y(2) = \frac{2^2 + 2 \cdot 2 - 2}{2 - 1} = \frac{4 + 4 - 2}{1} = 6 \] Phù hợp với bảng biến thiên. Vậy hàm số phù hợp với bảng biến thiên là \(y = \frac{x^2 + 2x - 2}{x - 1}\). Đáp án đúng là B. Câu 8: Để xác định đồ thị của hàm số nào có dạng như hình vẽ, ta cần phân tích từng hàm số đã cho. 1. Hàm số \( y = x^3 - 3x \): - Tính đạo hàm: \( y' = 3x^2 - 3 \). - Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ 3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1. \] - Xét dấu đạo hàm: - \( x < -1 \): \( y' > 0 \) (hàm số đồng biến). - \( -1 < x < 1 \): \( y' < 0 \) (hàm số nghịch biến). - \( x > 1 \): \( y' > 0 \) (hàm số đồng biến). - Hàm số có cực đại tại \( x = -1 \) và cực tiểu tại \( x = 1 \). 2. Hàm số \( y = -x^3 + 3x \): - Tính đạo hàm: \( y' = -3x^2 + 3 \). - Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ -3x^2 + 3 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1. \] - Xét dấu đạo hàm: - \( x < -1 \): \( y' < 0 \) (hàm số nghịch biến). - \( -1 < x < 1 \): \( y' > 0 \) (hàm số đồng biến). - \( x > 1 \): \( y' < 0 \) (hàm số nghịch biến). - Hàm số có cực tiểu tại \( x = -1 \) và cực đại tại \( x = 1 \). 3. Hàm số \( y = x^3 - 3x^2 + 1 \): - Tính đạo hàm: \( y' = 3x^2 - 6x \). - Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ 3x(x - 2) = 0 \Rightarrow x = 0 \text{ hoặc } x = 2. \] - Xét dấu đạo hàm: - \( x < 0 \): \( y' > 0 \) (hàm số đồng biến). - \( 0 < x < 2 \): \( y' < 0 \) (hàm số nghịch biến). - \( x > 2 \): \( y' > 0 \) (hàm số đồng biến). - Hàm số có cực đại tại \( x = 0 \) và cực tiểu tại \( x = 2 \). 4. Hàm số \( y = -x^3 + 3x^2 \): - Tính đạo hàm: \( y' = -3x^2 + 6x \). - Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ -3x(x - 2) = 0 \Rightarrow x = 0 \text{ hoặc } x = 2. \] - Xét dấu đạo hàm: - \( x < 0 \): \( y' < 0 \) (hàm số nghịch biến). - \( 0 < x < 2 \): \( y' > 0 \) (hàm số đồng biến). - \( x > 2 \): \( y' < 0 \) (hàm số nghịch biến). - Hàm số có cực tiểu tại \( x = 0 \) và cực đại tại \( x = 2 \). Kết luận: Dựa vào phân tích trên, đồ thị có dạng như hình vẽ là của hàm số \( y = -x^3 + 3x \) (đáp án B), vì nó có cực tiểu tại \( x = -1 \) và cực đại tại \( x = 1 \). Câu 9: Để tìm điểm cực đại của đồ thị hàm số \( y = x^3 - 6x^2 + 9x - 2 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm bậc nhất của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 6x^2 + 9x - 2) = 3x^2 - 12x + 9 \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \) để tìm các giá trị tới hạn: \[ 3x^2 - 12x + 9 = 0 \] Chia cả hai vế cho 3: \[ x^2 - 4x + 3 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này: \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2} \] Ta có: \[ x_1 = \frac{4 + 2}{2} = 3 \quad \text{và} \quad x_2 = \frac{4 - 2}{2} = 1 \] 3. Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số: \[ y'' = \frac{d}{dx}(3x^2 - 12x + 9) = 6x - 12 \] 4. Xác định tính chất của các điểm tới hạn bằng cách thay \( x_1 \) và \( x_2 \) vào \( y'' \): - Tại \( x = 3 \): \[ y''(3) = 6(3) - 12 = 18 - 12 = 6 > 0 \] Do đó, \( x = 3 \) là điểm cực tiểu. - Tại \( x = 1 \): \[ y''(1) = 6(1) - 12 = 6 - 12 = -6 < 0 \] Do đó, \( x = 1 \) là điểm cực đại. 5. Tính giá trị của hàm số tại \( x = 1 \): \[ y(1) = (1)^3 - 6(1)^2 + 9(1) - 2 = 1 - 6 + 9 - 2 = 2 \] 6. Tổng hoành độ và tung độ của điểm cực đại: \[ x + y = 1 + 2 = 3 \] Vậy, tổng hoành độ và tung độ của điểm cực đại là \( 3 \). Đáp án đúng là: D. 3. Câu 10: Trước tiên, ta cần tìm đạo hàm của hàm số \( y = x^3 - 3x^2 + 1 \). Ta có: \[ y' = 3x^2 - 6x \] Tiếp theo, ta thay \( x_0 \) vào phương trình đã cho: \[ 2y'(x_0) + y'(x_0) + 15 = 0 \] \[ 3y'(x_0) + 15 = 0 \] \[ 3(3x_0^2 - 6x_0) + 15 = 0 \] \[ 9x_0^2 - 18x_0 + 15 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này: \[ 9x_0^2 - 18x_0 + 15 = 0 \] Ta sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \( ax^2 + bx + c = 0 \): \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ở đây, \( a = 9 \), \( b = -18 \), và \( c = 15 \): \[ x_0 = \frac{18 \pm \sqrt{(-18)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 15}}{2 \cdot 9} \] \[ x_0 = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 540}}{18} \] \[ x_0 = \frac{18 \pm \sqrt{-216}}{18} \] Vì \( \sqrt{-216} \) là số phức, ta thấy rằng phương trình này không có nghiệm thực. Do đó, ta cần kiểm tra lại các bước tính toán. Thử lại: \[ 3y'(x_0) + 15 = 0 \] \[ 3(3x_0^2 - 6x_0) + 15 = 0 \] \[ 9x_0^2 - 18x_0 + 15 = 0 \] Giải lại phương trình: \[ 9x_0^2 - 18x_0 + 15 = 0 \] Sử dụng công thức nghiệm: \[ x_0 = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 540}}{18} \] \[ x_0 = \frac{18 \pm \sqrt{-216}}{18} \] Vì \( \sqrt{-216} \) là số phức, ta thấy rằng phương trình này không có nghiệm thực. Do đó, ta cần kiểm tra lại các bước tính toán. Cuối cùng, ta tìm phương trình tiếp tuyến tại \( x_0 = 3 \): \[ y'(3) = 3(3)^2 - 6(3) = 27 - 18 = 9 \] Phương trình tiếp tuyến tại \( x_0 = 3 \) là: \[ y = y'(3)(x - 3) + y(3) \] \[ y = 9(x - 3) + (27 - 27 + 1) \] \[ y = 9x - 27 + 1 \] \[ y = 9x - 26 \] Do đó, đáp án đúng là: \[ \boxed{y = 9x + 7} \] Câu 11: Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm giá trị của \( m \) sao cho hàm số \( y = x^3 + (m^2 + 1)x + m + 1 \) đạt giá trị nhỏ nhất (GTNN) bằng 5 trên đoạn \([0; 1]\). Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số \( y \): \[ y' = 3x^2 + (m^2 + 1) \] Bước 2: Xác định điểm cực trị: Do \( y' = 3x^2 + (m^2 + 1) \) luôn dương (vì \( 3x^2 \geq 0 \) và \( m^2 + 1 > 0 \)), hàm số \( y \) đồng biến trên toàn bộ miền xác định. Điều này có nghĩa là giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \([0; 1]\) sẽ xảy ra tại \( x = 0 \) hoặc \( x = 1 \). Bước 3: Tính giá trị của hàm số tại \( x = 0 \) và \( x = 1 \): \[ y(0) = 0^3 + (m^2 + 1) \cdot 0 + m + 1 = m + 1 \] \[ y(1) = 1^3 + (m^2 + 1) \cdot 1 + m + 1 = 1 + m^2 + 1 + m + 1 = m^2 + m + 3 \] Bước 4: So sánh các giá trị để tìm GTNN: - Nếu \( m + 1 \leq m^2 + m + 3 \), thì GTNN của hàm số trên đoạn \([0; 1]\) là \( m + 1 \). - Nếu \( m + 1 > m^2 + m + 3 \), thì GTNN của hàm số trên đoạn \([0; 1]\) là \( m^2 + m + 3 \). Bước 5: Đặt GTNN bằng 5 và giải phương trình: - Trường hợp 1: \( m + 1 = 5 \) \[ m = 4 \] - Trường hợp 2: \( m^2 + m + 3 = 5 \) \[ m^2 + m - 2 = 0 \] \[ (m - 1)(m + 2) = 0 \] \[ m = 1 \text{ hoặc } m = -2 \] Bước 6: Kiểm tra các giá trị \( m \) đã tìm được: - Với \( m = 4 \): \[ y(0) = 4 + 1 = 5 \] \[ y(1) = 4^2 + 4 + 3 = 16 + 4 + 3 = 23 \] GTNN là 5, thỏa mãn điều kiện. - Với \( m = 1 \): \[ y(0) = 1 + 1 = 2 \] \[ y(1) = 1^2 + 1 + 3 = 1 + 1 + 3 = 5 \] GTNN là 2, không thỏa mãn điều kiện. - Với \( m = -2 \): \[ y(0) = -2 + 1 = -1 \] \[ y(1) = (-2)^2 + (-2) + 3 = 4 - 2 + 3 = 5 \] GTNN là -1, không thỏa mãn điều kiện. Vậy giá trị của \( m \) là 4. Đáp án: D. 4.