Tìm m nguyên dương. Câu 4. Có bao nhiêu số nguyên dương $m\in(0;2024)$ để phương trình $|2|x|-6|=m\|x|-1|$ có 4 nghiệm phân,biệt?

Question

Timi · Accepted Answer

Câu 4:
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ làm theo các bước sau:

1. Xác định ĐKXĐ.
2. Giải phương trình trong từng khoảng xác định.
3. Tìm các giá trị của $ m $ sao cho phương trình có 4 nghiệm phân biệt.

Bước 1: Xác định ĐKXĐ:
Phương trình $ |2|x| - 6| = m|x| - 1 $ có nghĩa khi $ m|x| - 1 \geq 0 $. Do đó, $ m|x| \geq 1 $.

Bước 2: Giải phương trình trong từng khoảng xác định:
Ta xét hai trường hợp $ x \geq 0 $ và $ x < 0 $.

Trường hợp 1: $ x \geq 0 $
Phương trình trở thành $ |2x - 6| = mx - 1 $.

- Nếu $ 2x - 6 \geq 0 $ (tức là $ x \geq 3 $), phương trình trở thành $ 2x - 6 = mx - 1 $.
  $$
  2x - 6 = mx - 1 \implies (2 - m)x = 5 \implies x = \frac{5}{2 - m}
  $$
  Điều kiện $ x \geq 3 $ yêu cầu $ \frac{5}{2 - m} \geq 3 $, tức là $ 5 \geq 3(2 - m) \implies 5 \geq 6 - 3m \implies 3m \geq 1 \implies m \geq \frac{1}{3} $.

- Nếu $ 2x - 6 < 0 $ (tức là $ x < 3 $), phương trình trở thành $ 6 - 2x = mx - 1 $.
  $$
  6 - 2x = mx - 1 \implies (m + 2)x = 7 \implies x = \frac{7}{m + 2}
  $$
  Điều kiện $ x < 3 $ yêu cầu $ \frac{7}{m + 2} < 3 $, tức là $ 7 < 3(m + 2) \implies 7 < 3m + 6 \implies 1 < 3m \implies m > \frac{1}{3} $.

Trường hợp 2: $ x < 0 $
Phương trình trở thành $ |2(-x) - 6| = m(-x) - 1 $, tức là $ |2x + 6| = -mx - 1 $.

- Nếu $ 2x + 6 \geq 0 $ (tức là $ x \geq -3 $), phương trình trở thành $ 2x + 6 = -mx - 1 $.
  $$
  2x + 6 = -mx - 1 \implies (2 + m)x = -7 \implies x = \frac{-7}{2 + m}
  $$
  Điều kiện $ x \geq -3 $ yêu cầu $ \frac{-7}{2 + m} \geq -3 $, tức là $ -7 \geq -3(2 + m) \implies -7 \geq -6 - 3m \implies 3m \geq 1 \implies m \geq \frac{1}{3} $.

- Nếu $ 2x + 6 < 0 $ (tức là $ x < -3 $), phương trình trở thành $ -2x - 6 = -mx - 1 $.
  $$
  -2x - 6 = -mx - 1 \implies (m - 2)x = 5 \implies x = \frac{5}{m - 2}
  $$
  Điều kiện $ x < -3 $ yêu cầu $ \frac{5}{m - 2} < -3 $, tức là $ 5 < -3(m - 2) \implies 5 < -3m + 6 \implies 3m < 1 \implies m < \frac{1}{3} $.

Bước 3: Tìm các giá trị của $ m $ sao cho phương trình có 4 nghiệm phân biệt:
Để phương trình có 4 nghiệm phân biệt, $ m $ phải thỏa mãn cả hai điều kiện $ m \geq \frac{1}{3} $ và $ m < \frac{1}{3} $, nhưng điều này không thể xảy ra. Do đó, không có giá trị nào của $ m $ thỏa mãn điều kiện đề bài.

Vậy, không có số nguyên dương $ m \in (0; 2024) $ nào để phương trình $ |2|x| - 6| = m|x| - 1 $ có 4 nghiệm phân biệt.