Số 3 Cho tam giác ABC, đường cao AD, BE, CF, trực tâm H. M, N là trung điểm BC, AH. a) Chứng minh ME, MF là tiếp tuyến của (AEF). b) K, L là trung điểm ME, MF. Qua A kẻ song song BC, cắt KL tại T. Chứn...

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau: a) Chứng minh ME, MF là tiếp tuyến của (AEF): 1. Xét tam giác AEF: - Ta có AD, BE, CF là các đường cao của tam giác ABC, do đó H là trực tâm của tam giác ABC. - M là trung điểm của BC, do đó ME và MF là các đường trung bình của tam giác BEC và BFC. 2. Chứng minh ME là tiếp tuyến của (AEF): - Ta cần chứng minh ME vuông góc với tiếp tuyến tại E của đường tròn (AEF). - Do M là trung điểm của BC, ME là đường trung bình, nên ME song song với CF. - CF là đường cao của tam giác ABC, do đó CF vuông góc với AB. - Vậy ME cũng vuông góc với AB. - Trong tam giác AEF, E là điểm trên đường tròn (AEF), do đó tiếp tuyến tại E của (AEF) cũng vuông góc với AE. - Vì ME vuông góc với AB và tiếp tuyến tại E vuông góc với AE, nên ME là tiếp tuyến của (AEF). 3. Chứng minh MF là tiếp tuyến của (AEF): - Tương tự, MF là đường trung bình của tam giác BFC, nên MF song song với BE. - BE là đường cao của tam giác ABC, do đó BE vuông góc với AC. - Vậy MF cũng vuông góc với AC. - Trong tam giác AEF, F là điểm trên đường tròn (AEF), do đó tiếp tuyến tại F của (AEF) cũng vuông góc với AF. - Vì MF vuông góc với AC và tiếp tuyến tại F vuông góc với AF, nên MF là tiếp tuyến của (AEF). b) Chứng minh TA = TM: 1. Xét các điểm K, L: - K là trung điểm của ME, L là trung điểm của MF. 2. Xét đường thẳng qua A song song với BC: - Gọi đường thẳng này cắt KL tại T. 3. Chứng minh TA = TM: - Do K và L là trung điểm của ME và MF, nên KL là đường trung bình của tam giác MEF. - Đường thẳng qua A song song với BC cắt KL tại T, do đó T là trung điểm của đoạn thẳng AM (vì KL là đường trung bình và T nằm trên đường thẳng song song với BC). - Vậy TA = TM. Như vậy, chúng ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán.