cho tứ giác ABCD có ABC=ADC=90. Trên tia BA lấy điểm E sao cho BE=BC Trên tia DA lấy điểm F sao cho DF=DC. Gọi M là TĐ EF. CMR tâm giác MBD là Tam giác vuông cân.

Question

Timi · Accepted Answer

Để chứng minh tam giác $MBD$ là tam giác vuông cân, ta thực hiện các bước sau:

1. Xét tam giác $ABC$ và $ADC$:

- Ta có $\angle ABC = \angle ADC = 90^\circ$.
   - Do đó, $ABCD$ là một tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính $AC$.

2. Xét điểm $E$ và $F$:

- Trên tia $BA$, lấy điểm $E$ sao cho $BE = BC$.
   - Trên tia $DA$, lấy điểm $F$ sao cho $DF = DC$.

3. Xét trung điểm $M$ của $EF$:

- Vì $BE = BC$ và $DF = DC$, nên $E$ và $F$ là đối xứng của $C$ qua $B$ và $D$ tương ứng.
   - Do đó, $EF$ là đường trung bình của tam giác $BDC$, tức là $M$ là trung điểm của $EF$.

4. Chứng minh tam giác $MBD$ vuông cân:

- Xét tam giác $BDC$, ta có $BC = DC$ (do $BE = BC$ và $DF = DC$).
   - Do đó, tam giác $BDC$ là tam giác cân tại $C$.
   - Vì $M$ là trung điểm của $EF$ và $EF$ là đường trung bình của tam giác $BDC$, nên $M$ nằm trên đường trung trực của $BD$.
   - Do đó, $\angle BMD = 90^\circ$.

5. Kết luận:

- Tam giác $MBD$ có $\angle BMD = 90^\circ$ và $MB = MD$ (do $M$ nằm trên đường trung trực của $BD$).
   - Vậy tam giác $MBD$ là tam giác vuông cân tại $M$.

Như vậy, ta đã chứng minh được tam giác $MBD$ là tam giác vuông cân.