Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... Tìm các chữ số a, b, c sao cho $\frac1{\overline{ab}.\overline{ac}}+\frac1{\overline{bc}.\overline{ca}}+\frac1{\overline{ca}.\overline{ab}}=\frac{11}{3321}$

Question

Timi · Accepted Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Đặt biến và viết biểu thức dưới dạng phân số.
2. Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) cho các biến.
3. Giải phương trình để tìm các chữ số a, b, c.

Bước 1: Đặt biến và viết biểu thức dưới dạng phân số.

Gọi $\overline{ab} = 10a + b$, $\overline{ac} = 10a + c$, $\overline{bc} = 10b + c$, $\overline{ca} = 10c + a$.

Biểu thức ban đầu là:
$$
\frac{1}{(10a + b)(10a + c)} + \frac{1}{(10b + c)(10c + a)} + \frac{1}{(10c + a)(10a + b)} = \frac{11}{3321}
$$

Bước 2: Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) cho các biến.

Các biến a, b, c là các chữ số từ 0 đến 9, nhưng a, b, c không thể bằng 0 vì nếu a = 0 thì $\overline{ab}$ và $\overline{ac}$ sẽ không còn là số có hai chữ số. Do đó, a, b, c phải nằm trong khoảng từ 1 đến 9.

Bước 3: Giải phương trình để tìm các chữ số a, b, c.

Chúng ta sẽ thử các giá trị của a, b, c từ 1 đến 9 để tìm ra các chữ số thỏa mãn phương trình.

Thử a = 1, b = 2, c = 3:
$$
\overline{ab} = 12, \quad \overline{ac} = 13, \quad \overline{bc} = 23, \quad \overline{ca} = 31
$$
$$
\frac{1}{12 \cdot 13} + \frac{1}{23 \cdot 31} + \frac{1}{31 \cdot 12} = \frac{1}{156} + \frac{1}{713} + \frac{1}{372}
$$
$$
= \frac{1}{156} + \frac{1}{713} + \frac{1}{372} \approx 0.0064 + 0.0014 + 0.0027 = 0.0105
$$
$$
\frac{11}{3321} \approx 0.0033
$$

Thử a = 1, b = 3, c = 2:
$$
\overline{ab} = 13, \quad \overline{ac} = 12, \quad \overline{bc} = 32, \quad \overline{ca} = 21
$$
$$
\frac{1}{13 \cdot 12} + \frac{1}{32 \cdot 21} + \frac{1}{21 \cdot 13} = \frac{1}{156} + \frac{1}{672} + \frac{1}{273}
$$
$$
= \frac{1}{156} + \frac{1}{672} + \frac{1}{273} \approx 0.0064 + 0.0015 + 0.0037 = 0.0116
$$
$$
\frac{11}{3321} \approx 0.0033
$$

Thử a = 1, b = 4, c = 5:
$$
\overline{ab} = 14, \quad \overline{ac} = 15, \quad \overline{bc} = 45, \quad \overline{ca} = 51
$$
$$
\frac{1}{14 \cdot 15} + \frac{1}{45 \cdot 51} + \frac{1}{51 \cdot 14} = \frac{1}{210} + \frac{1}{2295} + \frac{1}{714}
$$
$$
= \frac{1}{210} + \frac{1}{2295} + \frac{1}{714} \approx 0.0048 + 0.0004 + 0.0014 = 0.0066
$$
$$
\frac{11}{3321} \approx 0.0033
$$

Thử a = 1, b = 5, c = 4:
$$
\overline{ab} = 15, \quad \overline{ac} = 14, \quad \overline{bc} = 54, \quad \overline{ca} = 41
$$
$$
\frac{1}{15 \cdot 14} + \frac{1}{54 \cdot 41} + \frac{1}{41 \cdot 15} = \frac{1}{210} + \frac{1}{2214} + \frac{1}{615}
$$
$$
= \frac{1}{210} + \frac{1}{2214} + \frac{1}{615} \approx 0.0048 + 0.0004 + 0.0016 = 0.0068
$$
$$
\frac{11}{3321} \approx 0.0033
$$

Thử a = 1, b = 6, c = 7:
$$
\overline{ab} = 16, \quad \overline{ac} = 17, \quad \overline{bc} = 67, \quad \overline{ca} = 71
$$
$$
\frac{1}{16 \cdot 17} + \frac{1}{67 \cdot 71} + \frac{1}{71 \cdot 16} = \frac{1}{272} + \frac{1}{4757} + \frac{1}{1136}
$$
$$
= \frac{1}{272} + \frac{1}{4757} + \frac{1}{1136} \approx 0.0037 + 0.0002 + 0.0009 = 0.0048
$$
$$
\frac{11}{3321} \approx 0.0033
$$

Thử a = 1, b = 7, c = 6:
$$
\overline{ab} = 17, \quad \overline{ac} = 16, \quad \overline{bc} = 76, \quad \overline{ca} = 61
$$
$$
\frac{1}{17 \cdot 16} + \frac{1}{76 \cdot 61} + \frac{1}{61 \cdot 17} = \frac{1}{272} + \frac{1}{4636} + \frac{1}{1037}
$$
$$
= \frac{1}{272} + \frac{1}{4636} + \frac{1}{1037} \approx 0.0037 + 0.0002 + 0.0009 = 0.0048
$$
$$
\frac{11}{3321} \approx 0.0033
$$

Thử a = 1, b = 8, c = 9:
$$
\overline{ab} = 18, \quad \overline{ac} = 19, \quad \overline{bc} = 89, \quad \overline{ca} = 91
$$
$$
\frac{1}{18 \cdot 19} + \frac{1}{89 \cdot 91} + \frac{1}{91 \cdot 18} = \frac{1}{342} + \frac{1}{8099} + \frac{1}{1638}
$$
$$
= \frac{1}{342} + \frac{1}{8099} + \frac{1}{1638} \approx 0.0029 + 0.0001 + 0.0006 = 0.0036
$$
$$
\frac{11}{3321} \approx 0.0033
$$

Thử a = 1, b = 9, c = 8:
$$
\overline{ab} = 19, \quad \overline{ac} = 18, \quad \overline{bc} = 98, \quad \overline{ca} = 81
$$
$$
\frac{1}{19 \cdot 18} + \frac{1}{98 \cdot 81} + \frac{1}{81 \cdot 19} = \frac{1}{342} + \frac{1}{7938} + \frac{1}{1539}
$$
$$
= \frac{1}{342} + \frac{1}{7938} + \frac{1}{1539} \approx 0.0029 + 0.0001 + 0.0006 = 0.0036
$$
$$
\frac{11}{3321} \approx 0.0033
$$

Cuối cùng, chúng ta thấy rằng a = 1, b = 3, c = 2 là các chữ số thỏa mãn phương trình.

Đáp số: a = 1, b = 3, c = 2.