Cho tôi đáp án câu 3

Câu 3: Để tính giá trị lượng giác \(\sin 2a\) và \(\cos 2a\) từ điều kiện \(\sin a - \cos a = \frac{1}{3}\) và \(0 < a < \frac{\pi}{4}\), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Bình phương hai vế của phương trình \(\sin a - \cos a = \frac{1}{3}\): \[ (\sin a - \cos a)^2 = \left(\frac{1}{3}\right)^2 \] \[ \sin^2 a - 2\sin a \cos a + \cos^2 a = \frac{1}{9} \] Bước 2: Sử dụng công thức \(\sin^2 a + \cos^2 a = 1\): \[ 1 - 2\sin a \cos a = \frac{1}{9} \] Bước 3: Giải phương trình để tìm \(\sin a \cos a\): \[ -2\sin a \cos a = \frac{1}{9} - 1 \] \[ -2\sin a \cos a = \frac{1}{9} - \frac{9}{9} \] \[ -2\sin a \cos a = -\frac{8}{9} \] \[ \sin a \cos a = \frac{4}{9} \] Bước 4: Tính \(\sin 2a\) sử dụng công thức \(\sin 2a = 2\sin a \cos a\): \[ \sin 2a = 2 \cdot \frac{4}{9} = \frac{8}{9} \] Bước 5: Tính \(\cos 2a\) sử dụng công thức \(\cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a\). Ta biết rằng: \[ \cos 2a = (\cos a - \sin a)(\cos a + \sin a) \] Do \(0 < a < \frac{\pi}{4}\), nên \(\cos a > \sin a\), suy ra \(\cos a + \sin a > 0\). Từ \(\sin a - \cos a = \frac{1}{3}\), ta có: \[ \cos a - \sin a = -\frac{1}{3} \] Vậy: \[ \cos 2a = \left(-\frac{1}{3}\right)(\cos a + \sin a) \] Bước 6: Tìm \(\cos a + \sin a\) bằng cách bình phương: \[ (\cos a + \sin a)^2 = \cos^2 a + 2\sin a \cos a + \sin^2 a \] \[ = 1 + 2 \cdot \frac{4}{9} = 1 + \frac{8}{9} = \frac{17}{9} \] \[ \cos a + \sin a = \sqrt{\frac{17}{9}} = \frac{\sqrt{17}}{3} \] Bước 7: Thay vào công thức \(\cos 2a\): \[ \cos 2a = \left(-\frac{1}{3}\right) \cdot \frac{\sqrt{17}}{3} = -\frac{\sqrt{17}}{9} \] Vậy, giá trị lượng giác \(\sin 2a\) và \(\cos 2a\) là: \[ \sin 2a = \frac{8}{9}, \quad \cos 2a = -\frac{\sqrt{17}}{9} \] Câu 4: Ta có: \[ P = \frac{1 + \sin 2\alpha + \cos 2\alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha} \] Sử dụng công thức lượng giác: \[ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \] \[ \cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha - 1 \] Thay vào biểu thức của \( P \): \[ P = \frac{1 + 2 \sin \alpha \cos \alpha + 2 \cos^2 \alpha - 1}{\sin \alpha + \cos \alpha} \] \[ P = \frac{2 \sin \alpha \cos \alpha + 2 \cos^2 \alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha} \] \[ P = \frac{2 \cos \alpha (\sin \alpha + \cos \alpha)}{\sin \alpha + \cos \alpha} \] \[ P = 2 \cos \alpha \] Do \( \sin \alpha = \frac{2}{3} \) và \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \), ta có: \[ \cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - \left(\frac{2}{3}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3} \] Vậy: \[ P = 2 \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} = \frac{2\sqrt{5}}{3} \] Câu 5: Để tính \( P = \sin \alpha - \cos \alpha \) cho góc \(\alpha\) thỏa mãn \(\sin 2\alpha = -\frac{4}{5}\) và \(\frac{3\pi}{4} < \alpha < \pi\), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định dấu của \(\sin \alpha\) và \(\cos \alpha\): - Vì \(\frac{3\pi}{4} < \alpha < \pi\), nên \(\alpha\) nằm trong khoảng từ \(\frac{3\pi}{4}\) đến \(\pi\). - Trong khoảng này, \(\sin \alpha > 0\) và \(\cos \alpha < 0\). 2. Sử dụng công thức \(\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha\): \[ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = -\frac{4}{5} \] Do đó: \[ 2 \sin \alpha \cos \alpha = -\frac{4}{5} \] \[ \sin \alpha \cos \alpha = -\frac{2}{5} \] 3. Tìm \(\sin \alpha\) và \(\cos \alpha\): - Ta biết rằng \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\). - Đặt \(x = \sin \alpha\) và \(y = \cos \alpha\). Ta có hệ phương trình: \[ x^2 + y^2 = 1 \] \[ xy = -\frac{2}{5} \] 4. Giải hệ phương trình: - Từ \(xy = -\frac{2}{5}\), ta có \(y = -\frac{2}{5x}\). - Thay vào phương trình \(x^2 + y^2 = 1\): \[ x^2 + \left(-\frac{2}{5x}\right)^2 = 1 \] \[ x^2 + \frac{4}{25x^2} = 1 \] \[ 25x^4 + 4 = 25x^2 \] \[ 25x^4 - 25x^2 + 4 = 0 \] Đây là phương trình bậc bốn, nhưng ta có thể giải nó như phương trình bậc hai bằng cách đặt \(z = x^2\): \[ 25z^2 - 25z + 4 = 0 \] Giải phương trình này: \[ z = \frac{25 \pm \sqrt{625 - 400}}{50} = \frac{25 \pm \sqrt{225}}{50} = \frac{25 \pm 15}{50} \] \[ z = \frac{40}{50} = \frac{4}{5} \quad \text{hoặc} \quad z = \frac{10}{50} = \frac{1}{5} \] Do đó: \[ x^2 = \frac{4}{5} \quad \text{hoặc} \quad x^2 = \frac{1}{5} \] Vì \(\sin \alpha > 0\), ta có: \[ x = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} \quad \text{hoặc} \quad x = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \] Kiểm tra: - Nếu \(x = \frac{2}{\sqrt{5}}\), thì \(y = -\frac{2}{5 \cdot \frac{2}{\sqrt{5}}} = -\frac{1}{\sqrt{5}}\). - Nếu \(x = \frac{1}{\sqrt{5}}\), thì \(y = -\frac{2}{5 \cdot \frac{1}{\sqrt{5}}} = -\frac{2}{\sqrt{5}}\). 5. Tính \(P = \sin \alpha - \cos \alpha\): - Với \(x = \frac{2}{\sqrt{5}}\) và \(y = -\frac{1}{\sqrt{5}}\): \[ P = \frac{2}{\sqrt{5}} - \left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right) = \frac{2}{\sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5} \] - Với \(x = \frac{1}{\sqrt{5}}\) và \(y = -\frac{2}{\sqrt{5}}\): \[ P = \frac{1}{\sqrt{5}} - \left(-\frac{2}{\sqrt{5}}\right) = \frac{1}{\sqrt{5}} + \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5} \] Vậy, giá trị của \(P\) là: \[ \boxed{\frac{3\sqrt{5}}{5}} \] Câu 6: a. Ta có: $\sin^4a+\cos^4a=(\sin^2a+\cos^2a)^2-2\sin^2a\cos^2a$ $=1-2\sin^2a\cos^2a$ $=1-\frac12(2\sin a\cos a)^2$ $=1-\frac12\sin^22a$ $=1-\frac12.\frac{1-\cos4a}{2}$ $=1-\frac14+\frac14\cos4a$ $=\frac34+\frac14\cos4a.$ b. Ta có: $1+\sin a=1+2\sin\frac{a}{2}\cos\frac{a}{2}$ $=\sin^2\frac{a}{2}+\cos^2\frac{a}{2}+2\sin\frac{a}{2}\cos\frac{a}{2}$ $=(\sin\frac{a}{2}+\cos\frac{a}{2})^2$ $=2(\frac1{\sqrt2}\sin\frac{a}{2}+\frac1{\sqrt2}\cos\frac{a}{2})^2$ $=2(\sin\frac{a}{2}\cos\frac{\pi}{4}+\cos\frac{a}{2}\sin\frac{\pi}{4})^2$ $=2\sin^2(\frac{a}{2}+\frac{\pi}{4}).$ c. Ta có: $\frac{1+\sin a}{1-\sin a}=\frac{(1+\sin a)(1+\sin a)}{(1-\sin a)(1+\sin a)}$ $=\frac{(1+\sin a)^2}{1-\sin^2a}$ $=\frac{1+2\sin a+\sin^2a}{\cos^2a}$ $=\frac{1+2\sin a+1-\cos^2a}{\cos^2a}$ $=\frac{2+2\sin a-\cos^2a}{\cos^2a}$ $=\frac{2(1+\sin a)-\cos^2a}{\cos^2a}$ $=\frac{2(1+\sin a)-1+\sin^2a}{\cos^2a}$ $=\frac{1+2\sin a+\sin^2a}{\cos^2a}$ $=\frac{(\sin\frac{a}{2}+\cos\frac{a}{2})^2}{\cos^2a}$ $=\frac{2(\frac1{\sqrt2}\sin\frac{a}{2}+\frac1{\sqrt2}\cos\frac{a}{2})^2}{\cos^2a}$ $=\frac{2\sin^2(\frac{a}{2}+\frac{\pi}{4})}{\cos^2a}$ $=\cot^2(\frac{\pi}{4}-\frac{a}{2}).$ d. Ta có: $\frac{1-2\sin^2a}{1+\sin2a}=\frac{\cos2a}{1+\sin2a}$ $=\frac{\cos2a}{\sin^2a+\cos^2a+\sin2a}$ $=\frac{\cos2a}{(\sin a+\cos a)^2}$ $=\frac{\cos2a}{1+\sin2a}$ $=\frac{\cos2a}{1+\sin2a}$ $=\frac{\cos2a}{1+\sin2a}$ $=\frac{1-\tan a}{1+\tan a}.$ e. Ta có: $\frac{\cos2a+\sin2a}{\cos2a-\sin2a}-\frac{\cos2a-\sin2a}{\cos2a+\sin2a}$ $=\frac{(\cos2a+\sin2a)^2-(\cos2a-\sin2a)^2}{(\cos2a-\sin2a)(\cos2a+\sin2a)}$ $=\frac{4\sin2a\cos2a}{\cos^22a-\sin^22a}$ $=\frac{2\sin4a}{\cos4a}$ $=2\tan4a.$ f. Ta có: $(1+\tan a+\frac1{\cos a})(1+\tan a-\frac1{\cos a})$ $=(1+\tan a)^2-(\frac1{\cos a})^2$ $=1+2\tan a+\tan^2a-\frac1{\cos^2a}$ $=1+2\tan a+\tan^2a-1-\tan^2a$ $=2\tan a$ $=\frac{2\sin a}{\cos a}$ $=\frac{2\sin a\cos a}{\cos^2a}$ $=\frac{\sin2a}{\cos^2a}.$ Câu 7: a. \( A = \cos^4 a - \sin^4 a \) Ta có: \[ A = (\cos^2 a)^2 - (\sin^2 a)^2 \] \[ A = (\cos^2 a - \sin^2 a)(\cos^2 a + \sin^2 a) \] Do \(\cos^2 a + \sin^2 a = 1\), nên: \[ A = \cos^2 a - \sin^2 a \] \[ A = \cos 2a \] Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của \(\cos 2a\) là 1 và -1. Vậy giá trị lớn nhất của \(A\) là 1, đạt được khi \(2a = 0^\circ + k \cdot 360^\circ\), tức là \(a = 0^\circ + k \cdot 180^\circ\). Giá trị nhỏ nhất của \(A\) là -1, đạt được khi \(2a = 180^\circ + k \cdot 360^\circ\), tức là \(a = 90^\circ + k \cdot 180^\circ\). b. \( B = 1 - 8 \sin^2 a \cos^2 a \) Ta có: \[ B = 1 - 8 \sin^2 a \cos^2 a \] \[ B = 1 - 2 \cdot 4 \sin^2 a \cos^2 a \] \[ B = 1 - 2 \cdot (2 \sin a \cos a)^2 \] \[ B = 1 - 2 \sin^2 2a \] Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của \(\sin^2 2a\) là 1 và 0. Khi \(\sin^2 2a = 1\): \[ B = 1 - 2 \cdot 1 = 1 - 2 = -1 \] Khi \(\sin^2 2a = 0\): \[ B = 1 - 2 \cdot 0 = 1 \] Vậy giá trị lớn nhất của \(B\) là 1, đạt được khi \(\sin 2a = 0\), tức là \(2a = 0^\circ + k \cdot 360^\circ\) hoặc \(2a = 180^\circ + k \cdot 360^\circ\), tức là \(a = 0^\circ + k \cdot 180^\circ\) hoặc \(a = 90^\circ + k \cdot 180^\circ\). Giá trị nhỏ nhất của \(B\) là -1, đạt được khi \(\sin 2a = \pm 1\), tức là \(2a = 90^\circ + k \cdot 360^\circ\) hoặc \(2a = 270^\circ + k \cdot 360^\circ\), tức là \(a = 45^\circ + k \cdot 180^\circ\) hoặc \(a = 135^\circ + k \cdot 180^\circ\).