Tìm giá trị m. Câu 22. Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số $y=\cos^2x+3\sin x+m-3$ trên $[-\frac\pi6;\frac{5\pi}6]$ bằng 2.

Question

Timi · Accepted Answer

Câu 22:
Để tìm giá trị của $ m $ sao cho giá trị lớn nhất của hàm số $ y = \cos^2 x + 3 \sin x + m - 3 $ trên đoạn $[- \frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}]$ bằng 2, ta thực hiện các bước sau:

1. Biến đổi hàm số:
   Ta biết rằng $ \cos^2 x = 1 - \sin^2 x $. Do đó, hàm số $ y $ có thể viết lại thành:
   $$
   y = 1 - \sin^2 x + 3 \sin x + m - 3
   $$
   $$
   y = -\sin^2 x + 3 \sin x + m - 2
   $$

2. Xác định miền giá trị của $ \sin x $:
   Trên đoạn $[- \frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}]$, giá trị của $ \sin x $ nằm trong khoảng $[- \frac{1}{2}; 1]$.

3. Xét hàm số $ f(t) = -t^2 + 3t + m - 2 $ với $ t = \sin x $:
   Ta cần tìm giá trị lớn nhất của $ f(t) $ trên khoảng $[- \frac{1}{2}; 1]$.

4. Tìm giá trị lớn nhất của $ f(t) $:
   Hàm số $ f(t) = -t^2 + 3t + m - 2 $ là một hàm bậc hai với hệ số $ a = -1 $ (dưới dạng $ at^2 + bt + c $). Vì $ a < 0 $, đồ thị của hàm này là một parabol mở xuống, do đó giá trị lớn nhất của hàm số sẽ đạt tại đỉnh hoặc tại biên của khoảng.

Đỉnh của parabol $ f(t) $ là:
   $$
   t = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{2(-1)} = \frac{3}{2}
   $$
   Tuy nhiên, $ \frac{3}{2} $ không nằm trong khoảng $[- \frac{1}{2}; 1]$, nên ta xét giá trị của $ f(t) $ tại các điểm biên $ t = -\frac{1}{2} $ và $ t = 1 $.

- Tại $ t = -\frac{1}{2} $:
     $$
     f\left( -\frac{1}{2} \right) = -\left( -\frac{1}{2} \right)^2 + 3 \left( -\frac{1}{2} \right) + m - 2 = -\frac{1}{4} - \frac{3}{2} + m - 2 = m - \frac{15}{4}
     $$

- Tại $ t = 1 $:
     $$
     f(1) = -1^2 + 3 \cdot 1 + m - 2 = -1 + 3 + m - 2 = m
     $$

5. So sánh giá trị tại các điểm biên:
   Ta thấy rằng $ f(1) = m $ lớn hơn $ f\left( -\frac{1}{2} \right) = m - \frac{15}{4} $.

6. Yêu cầu giá trị lớn nhất của $ y $ bằng 2:
   Để giá trị lớn nhất của $ y $ bằng 2, ta có:
   $$
   m = 2
   $$

Vậy giá trị của $ m $ là $ 2 $.