Tìm số cặp (x; y) nguyên.

Câu 28: Để giải bài toán này, ta cần tìm các cặp số nguyên \((x, y)\) thỏa mãn bất đẳng thức: \[ x^2 + y^2 - 2y - 3 \leq 0. \] Bước 1: Biến đổi bất đẳng thức Ta biến đổi bất đẳng thức trên như sau: \[ x^2 + y^2 - 2y - 3 \leq 0 \] \[ \Rightarrow x^2 + (y^2 - 2y) \leq 3. \] Bước 2: Hoàn thành bình phương Hoàn thành bình phương cho biểu thức \(y^2 - 2y\): \[ y^2 - 2y = (y - 1)^2 - 1. \] Thay vào bất đẳng thức, ta có: \[ x^2 + (y - 1)^2 - 1 \leq 3 \] \[ \Rightarrow x^2 + (y - 1)^2 \leq 4. \] Bước 3: Tìm các giá trị nguyên thỏa mãn Bất đẳng thức \(x^2 + (y - 1)^2 \leq 4\) mô tả một hình tròn có tâm \((0, 1)\) và bán kính \(2\). Ta cần tìm các cặp số nguyên \((x, y)\) thỏa mãn điều kiện này. Xét các giá trị của \(x\): - Nếu \(x = 0\): \((y - 1)^2 \leq 4\) \(\Rightarrow -2 \leq y - 1 \leq 2\) \(\Rightarrow -1 \leq y \leq 3\) Các giá trị nguyên của \(y\) là: \(-1, 0, 1, 2, 3\). - Nếu \(x = \pm 1\): \(1 + (y - 1)^2 \leq 4\) \(\Rightarrow (y - 1)^2 \leq 3\) \(\Rightarrow -\sqrt{3} \leq y - 1 \leq \sqrt{3}\) \(\Rightarrow -1 \leq y - 1 \leq 1\) \(\Rightarrow 0 \leq y \leq 2\) Các giá trị nguyên của \(y\) là: \(0, 1, 2\). - Nếu \(x = \pm 2\): \(4 + (y - 1)^2 \leq 4\) \(\Rightarrow (y - 1)^2 \leq 0\) \(\Rightarrow y - 1 = 0\) \(\Rightarrow y = 1\). Bước 4: Liệt kê các cặp số nguyên \((x, y)\) Từ các giá trị trên, ta có các cặp \((x, y)\) thỏa mãn: - Với \(x = 0\): \((0, -1), (0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3)\). - Với \(x = 1\): \((1, 0), (1, 1), (1, 2)\). - Với \(x = -1\): \((-1, 0), (-1, 1), (-1, 2)\). - Với \(x = 2\): \((2, 1)\). - Với \(x = -2\): \((-2, 1)\). Kết luận Tổng cộng có \(5 + 3 + 3 + 1 + 1 = 13\) cặp số nguyên \((x, y)\) thỏa mãn bất đẳng thức đã cho.