Chứng minh rằng đường trung tuyến trong tam giác vuông bằng nửa cạnh huyền.

Question

Accepted Answer

Để chứng minh rằng đường trung tuyến trong tam giác vuông bằng nửa cạnh huyền, ta thực hiện các bước sau:

Giả sử tam giác vuông $ \triangle ABC $ vuông tại $ A $, với $ AB $ và $ AC $ là hai cạnh góc vuông, và $ BC $ là cạnh huyền. Gọi $ M $ là trung điểm của cạnh huyền $ BC $.

Ta cần chứng minh rằng đường trung tuyến $ AM $ bằng nửa cạnh huyền $ BC $, tức là $ AM = \frac{1}{2}BC $.

Bước 1: Xét tam giác $ \triangle ABM $ và $ \triangle ACM $

Vì $ M $ là trung điểm của $ BC $, nên $ BM = MC $.

Bước 2: Chứng minh hai tam giác $ \triangle ABM $ và $ \triangle ACM $ bằng nhau

- $ AB = AC $ (vì $ \triangle ABC $ là tam giác vuông cân tại $ A $)
- $ BM = MC $ (vì $ M $ là trung điểm của $ BC $)
- $ AM $ là cạnh chung

Do đó, theo trường hợp cạnh-cạnh-cạnh (c.c.c), ta có $ \triangle ABM \cong \triangle ACM $.

Bước 3: Suy ra $ \angle ABM = \angle ACM $

Vì hai tam giác $ \triangle ABM $ và $ \triangle ACM $ bằng nhau, nên các góc tương ứng bằng nhau, do đó $ \angle ABM = \angle ACM $.

Bước 4: Chứng minh $ \angle AMB = \angle AMC = 90^\circ $

Vì $ \angle ABM + \angle AMC + \angle ACM = 180^\circ $ và $ \angle ABM = \angle ACM $, nên $ \angle AMC = 180^\circ - 2\angle ABM $.

Do $ \angle BAC = 90^\circ $, nên $ \angle AMC = 90^\circ $.

Bước 5: Kết luận

Vì $ \angle AMB = \angle AMC = 90^\circ $, nên $ AM $ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông $ \triangle ABC $.

Theo định lý đường trung tuyến trong tam giác vuông, ta có $ AM = \frac{1}{2}BC $.

Vậy, đường trung tuyến trong tam giác vuông bằng nửa cạnh huyền.