Tính xác suất.

Câu 29: Để phương trình \(2ax^2 + 2bx + 3c = 0\) có nghiệm, điều kiện cần và đủ là biệt thức \(\Delta \geq 0\). Biệt thức của phương trình bậc hai \(Ax^2 + Bx + C = 0\) là \(\Delta = B^2 - 4AC\). Áp dụng vào phương trình \(2ax^2 + 2bx + 3c = 0\), ta có: \[ \Delta = (2b)^2 - 4 \cdot 2a \cdot 3c = 4b^2 - 24ac \] Điều kiện để phương trình có nghiệm là: \[ 4b^2 - 24ac \geq 0 \implies b^2 \geq 6ac \] Bây giờ, chúng ta sẽ đếm số trường hợp thỏa mãn điều kiện này. Các con súc sắc có thể xuất hiện từ 1 đến 6 chấm. Do đó, tổng số trường hợp có thể xảy ra là: \[ 6 \times 6 \times 6 = 216 \] Tiếp theo, chúng ta sẽ đếm số trường hợp thỏa mãn \(b^2 \geq 6ac\). - Khi \(a = 1\): - \(b^2 \geq 6c\) - Với \(c = 1\): \(b^2 \geq 6 \implies b \geq 3\) (có 4 trường hợp: 3, 4, 5, 6) - Với \(c = 2\): \(b^2 \geq 12 \implies b \geq 4\) (có 3 trường hợp: 4, 5, 6) - Với \(c = 3\): \(b^2 \geq 18 \implies b \geq 5\) (có 2 trường hợp: 5, 6) - Với \(c = 4\): \(b^2 \geq 24 \implies b \geq 5\) (có 2 trường hợp: 5, 6) - Với \(c = 5\): \(b^2 \geq 30 \implies b \geq 6\) (có 1 trường hợp: 6) - Với \(c = 6\): \(b^2 \geq 36 \implies b \geq 6\) (có 1 trường hợp: 6) Tổng số trường hợp khi \(a = 1\) là: \[ 4 + 3 + 2 + 2 + 1 + 1 = 13 \] - Khi \(a = 2\): - \(b^2 \geq 12c\) - Với \(c = 1\): \(b^2 \geq 12 \implies b \geq 4\) (có 3 trường hợp: 4, 5, 6) - Với \(c = 2\): \(b^2 \geq 24 \implies b \geq 5\) (có 2 trường hợp: 5, 6) - Với \(c = 3\): \(b^2 \geq 36 \implies b \geq 6\) (có 1 trường hợp: 6) Tổng số trường hợp khi \(a = 2\) là: \[ 3 + 2 + 1 = 6 \] - Khi \(a = 3\): - \(b^2 \geq 18c\) - Với \(c = 1\): \(b^2 \geq 18 \implies b \geq 5\) (có 2 trường hợp: 5, 6) - Với \(c = 2\): \(b^2 \geq 36 \implies b \geq 6\) (có 1 trường hợp: 6) Tổng số trường hợp khi \(a = 3\) là: \[ 2 + 1 = 3 \] - Khi \(a = 4\): - \(b^2 \geq 24c\) - Với \(c = 1\): \(b^2 \geq 24 \implies b \geq 5\) (có 2 trường hợp: 5, 6) Tổng số trường hợp khi \(a = 4\) là: \[ 2 \] - Khi \(a = 5\): - \(b^2 \geq 30c\) - Với \(c = 1\): \(b^2 \geq 30 \implies b \geq 6\) (có 1 trường hợp: 6) Tổng số trường hợp khi \(a = 5\) là: \[ 1 \] - Khi \(a = 6\): - \(b^2 \geq 36c\) - Với \(c = 1\): \(b^2 \geq 36 \implies b \geq 6\) (có 1 trường hợp: 6) Tổng số trường hợp khi \(a = 6\) là: \[ 1 \] Tổng số trường hợp thỏa mãn \(b^2 \geq 6ac\) là: \[ 13 + 6 + 3 + 2 + 1 + 1 = 26 \] Xác suất để phương trình \(2ax^2 + 2bx + 3c = 0\) có nghiệm là: \[ \frac{26}{216} = \frac{13}{108} \] Đáp số: \(\frac{13}{108}\)