Tính $ m lim$. Câu 31. Cho hàm số $y=f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{2-\sqrt{x+3}}{x^2-1}&khi~x
e1\\frac18&khi~x=1\end{array} ight..$ Tính $\lim_{x ightarrow1^-}f(x).$

Question

Tính $m lim$. Câu 31. Cho hàm số $y=f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{2-\sqrt{x+3}}{x^2-1}&khi~x
e1\\frac18&khi~x=1\end{array}ight..$ Tính $\lim_{xightarrow1^-}f(x).$

Timi · Accepted Answer

Câu 31:
Để tính giới hạn $\lim_{x \to 1^-} f(x)$ của hàm số $y = f(x)$ khi $x$ tiến đến $1$ từ phía bên trái, ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Xác định dạng của hàm số khi $x \neq 1$:
   Hàm số $f(x)$ có dạng:
   $$
   f(x) = \frac{2 - \sqrt{x + 3}}{x^2 - 1}
   $$
   khi $x \neq 1$.

2. Rationalize mẫu số:
   Ta nhân cả tử số và mẫu số của phân thức với biểu thức liên hợp của tử số để đơn giản hóa:
   $$
   \frac{2 - \sqrt{x + 3}}{x^2 - 1} \cdot \frac{2 + \sqrt{x + 3}}{2 + \sqrt{x + 3}}
   $$

3. Thực hiện phép nhân:
   Tử số trở thành:
   $$
   (2 - \sqrt{x + 3})(2 + \sqrt{x + 3}) = 4 - (x + 3) = 1 - x
   $$
   Mẫu số trở thành:
   $$
   (x^2 - 1)(2 + \sqrt{x + 3})
   $$

4. Đơn giản hóa phân thức:
   Ta có:
   $$
   \frac{1 - x}{(x^2 - 1)(2 + \sqrt{x + 3})}
   $$
   Chú ý rằng $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$, nên:
   $$
   \frac{1 - x}{(x - 1)(x + 1)(2 + \sqrt{x + 3})}
   $$

5. Phân tích giới hạn:
   Khi $x \to 1^-$, $x$ tiến đến $1$ từ phía bên trái, tức là $x < 1$. Do đó, $1 - x > 0$ và $x - 1 < 0$. Ta có:
   $$
   \lim_{x \to 1^-} \frac{1 - x}{(x - 1)(x + 1)(2 + \sqrt{x + 3})}
   $$
   Vì $1 - x$ và $x - 1$ là các đại lượng đối nghịch, ta có thể viết lại:
   $$
   \lim_{x \to 1^-} \frac{-(x - 1)}{(x - 1)(x + 1)(2 + \sqrt{x + 3})}
   $$
   Đơn giản hóa:
   $$
   \lim_{x \to 1^-} \frac{-1}{(x + 1)(2 + \sqrt{x + 3})}
   $$

6. Tính giá trị tại $x = 1$:
   Thay $x = 1$ vào biểu thức đã đơn giản hóa:
   $$
   \frac{-1}{(1 + 1)(2 + \sqrt{1 + 3})} = \frac{-1}{2 \cdot 4} = \frac{-1}{8}
   $$

Do đó, giới hạn của hàm số $f(x)$ khi $x$ tiến đến $1$ từ phía bên trái là:
$$
\lim_{x \to 1^-} f(x) = -\frac{1}{8}
$$

Tính $\rm lim$.