Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (p) qua hai điểm A(1; 2; 0) , B(4; 1; 2) và cách đều hai điểm C(- 2; 1; - 1) D(0, - 3, 1) có dạng ax + by + cz + 1 = 0(a

Question

Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (p) qua hai điểm A(1; 2; 0) , B(4; 1; 2) và cách đều hai điểm C(- 2; 1; - 1) D(0, - 3, 1) có dạng ax + by + cz + 1 = 0(a < 0) . Tính P = a + b + c

Timi · Accepted Answer

Để tìm mặt phẳng $(p)$ qua hai điểm $A(1, 2, 0)$ và $B(4, 1, 2)$ và cách đều hai điểm $C(-2, 1, -1)$ và $D(0, -3, 1)$, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng AB:

Vectơ $\overrightarrow{AB} = (4 - 1, 1 - 2, 2 - 0) = (3, -1, 2)$.

2. Tìm mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng CD:

- Trung điểm $M$ của đoạn thẳng $CD$ là:
     $$
     M\left(\frac{-2 + 0}{2}, \frac{1 - 3}{2}, \frac{-1 + 1}{2}\right) = \left(-1, -1, 0\right)
     $$

- Vectơ chỉ phương của đoạn thẳng $CD$ là:
     $$
     \overrightarrow{CD} = (0 - (-2), -3 - 1, 1 - (-1)) = (2, -4, 2)
     $$

- Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $CD$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = (2, -4, 2)$ và đi qua điểm $M(-1, -1, 0)$. Phương trình mặt phẳng trung trực là:
     $$
     2(x + 1) - 4(y + 1) + 2z = 0 \quad \Rightarrow \quad 2x - 4y + 2z + 2 = 0
     $$

3. Tìm mặt phẳng $(p)$ qua $A$ và $B$ và song song với mặt phẳng trung trực:

- Mặt phẳng $(p)$ có dạng:
     $$
     2x - 4y + 2z + d = 0
     $$

- Thay tọa độ điểm $A(1, 2, 0)$ vào phương trình mặt phẳng:
     $$
     2(1) - 4(2) + 2(0) + d = 0 \quad \Rightarrow \quad 2 - 8 + d = 0 \quad \Rightarrow \quad d = 6
     $$

- Phương trình mặt phẳng $(p)$ là:
     $$
     2x - 4y + 2z + 6 = 0
     $$

4. Đảm bảo điều kiện $a < 0$:

- Phương trình mặt phẳng $(p)$ có dạng $2x - 4y + 2z + 6 = 0$. Để $a < 0$, ta nhân cả phương trình với $-1$:
     $$
     -2x + 4y - 2z - 6 = 0
     $$

- Khi đó, $a = -2$, $b = 4$, $c = -2$.

5. Tính $P = a + b + c$:

$$
   P = -2 + 4 - 2 = 0
   $$

Vậy, giá trị của $P$ là $0$.