giai giup toi bai tap nay

1) \( \int (2x+1)^4 + (1+4x)^6 \, dx \) Ta sẽ tính nguyên hàm từng phần riêng biệt: \[ \int (2x+1)^4 \, dx \] Đặt \( u = 2x + 1 \Rightarrow du = 2 \, dx \Rightarrow dx = \frac{du}{2} \) \[ \int (2x+1)^4 \, dx = \int u^4 \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int u^4 \, du = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^5}{5} + C = \frac{(2x+1)^5}{10} + C_1 \] \[ \int (1+4x)^6 \, dx \] Đặt \( v = 1 + 4x \Rightarrow dv = 4 \, dx \Rightarrow dx = \frac{dv}{4} \) \[ \int (1+4x)^6 \, dx = \int v^6 \cdot \frac{dv}{4} = \frac{1}{4} \int v^6 \, dv = \frac{1}{4} \cdot \frac{v^7}{7} + C = \frac{(1+4x)^7}{28} + C_2 \] Kết hợp lại: \[ \int (2x+1)^4 + (1+4x)^6 \, dx = \frac{(2x+1)^5}{10} + \frac{(1+4x)^7}{28} + C \] 2) \( \int \sqrt{2x+1} + (1-3x)^7 \, dx \) Ta sẽ tính nguyên hàm từng phần riêng biệt: \[ \int \sqrt{2x+1} \, dx \] Đặt \( u = 2x + 1 \Rightarrow du = 2 \, dx \Rightarrow dx = \frac{du}{2} \) \[ \int \sqrt{2x+1} \, dx = \int \sqrt{u} \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int u^{1/2} \, du = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{3/2}}{3/2} + C = \frac{(2x+1)^{3/2}}{3} + C_1 \] \[ \int (1-3x)^7 \, dx \] Đặt \( v = 1 - 3x \Rightarrow dv = -3 \, dx \Rightarrow dx = -\frac{dv}{3} \) \[ \int (1-3x)^7 \, dx = \int v^7 \cdot -\frac{dv}{3} = -\frac{1}{3} \int v^7 \, dv = -\frac{1}{3} \cdot \frac{v^8}{8} + C = -\frac{(1-3x)^8}{24} + C_2 \] Kết hợp lại: \[ \int \sqrt{2x+1} + (1-3x)^7 \, dx = \frac{(2x+1)^{3/2}}{3} - \frac{(1-3x)^8}{24} + C \] 3) \( \int \frac{1}{\sqrt{3x+2}} + \frac{1}{3x+2} \, dx \) Ta sẽ tính nguyên hàm từng phần riêng biệt: \[ \int \frac{1}{\sqrt{3x+2}} \, dx \] Đặt \( u = 3x + 2 \Rightarrow du = 3 \, dx \Rightarrow dx = \frac{du}{3} \) \[ \int \frac{1}{\sqrt{3x+2}} \, dx = \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{du}{3} = \frac{1}{3} \int u^{-1/2} \, du = \frac{1}{3} \cdot 2u^{1/2} + C = \frac{2\sqrt{3x+2}}{3} + C_1 \] \[ \int \frac{1}{3x+2} \, dx \] Đặt \( v = 3x + 2 \Rightarrow dv = 3 \, dx \Rightarrow dx = \frac{dv}{3} \) \[ \int \frac{1}{3x+2} \, dx = \int \frac{1}{v} \cdot \frac{dv}{3} = \frac{1}{3} \int \frac{1}{v} \, dv = \frac{1}{3} \ln|v| + C = \frac{1}{3} \ln|3x+2| + C_2 \] Kết hợp lại: \[ \int \frac{1}{\sqrt{3x+2}} + \frac{1}{3x+2} \, dx = \frac{2\sqrt{3x+2}}{3} + \frac{1}{3} \ln|3x+2| + C \] 4) \( \int \frac{1}{(3x+1)^2} + \frac{1}{5-2x} \, dx \) Ta sẽ tính nguyên hàm từng phần riêng biệt: \[ \int \frac{1}{(3x+1)^2} \, dx \] Đặt \( u = 3x + 1 \Rightarrow du = 3 \, dx \Rightarrow dx = \frac{du}{3} \) \[ \int \frac{1}{(3x+1)^2} \, dx = \int \frac{1}{u^2} \cdot \frac{du}{3} = \frac{1}{3} \int u^{-2} \, du = \frac{1}{3} \cdot (-u^{-1}) + C = -\frac{1}{3(3x+1)} + C_1 \] \[ \int \frac{1}{5-2x} \, dx \] Đặt \( v = 5 - 2x \Rightarrow dv = -2 \, dx \Rightarrow dx = -\frac{dv}{2} \) \[ \int \frac{1}{5-2x} \, dx = \int \frac{1}{v} \cdot -\frac{dv}{2} = -\frac{1}{2} \int \frac{1}{v} \, dv = -\frac{1}{2} \ln|v| + C = -\frac{1}{2} \ln|5-2x| + C_2 \] Kết hợp lại: \[ \int \frac{1}{(3x+1)^2} + \frac{1}{5-2x} \, dx = -\frac{1}{3(3x+1)} - \frac{1}{2} \ln|5-2x| + C \] 5) \( \int \cos6x + \cos\frac{x}{2} \, dx \) Ta sẽ tính nguyên hàm từng phần riêng biệt: \[ \int \cos6x \, dx \] \[ \int \cos6x \, dx = \frac{1}{6} \sin6x + C_1 \] \[ \int \cos\frac{x}{2} \, dx \] Đặt \( u = \frac{x}{2} \Rightarrow du = \frac{1}{2} \, dx \Rightarrow dx = 2 \, du \) \[ \int \cos\frac{x}{2} \, dx = \int \cos u \cdot 2 \, du = 2 \int \cos u \, du = 2 \sin u + C = 2 \sin\frac{x}{2} + C_2 \] Kết hợp lại: \[ \int \cos6x + \cos\frac{x}{2} \, dx = \frac{1}{6} \sin6x + 2 \sin\frac{x}{2} + C \] 6) \( \int \sin4x + \sin\frac{x}{3} \, dx \) Ta sẽ tính nguyên hàm từng phần riêng biệt: \[ \int \sin4x \, dx \] \[ \int \sin4x \, dx = -\frac{1}{4} \cos4x + C_1 \] \[ \int \sin\frac{x}{3} \, dx \] Đặt \( u = \frac{x}{3} \Rightarrow du = \frac{1}{3} \, dx \Rightarrow dx = 3 \, du \) \[ \int \sin\frac{x}{3} \, dx = \int \sin u \cdot 3 \, du = 3 \int \sin u \, du = -3 \cos u + C = -3 \cos\frac{x}{3} + C_2 \] Kết hợp lại: \[ \int \sin4x + \sin\frac{x}{3} \, dx = -\frac{1}{4} \cos4x - 3 \cos\frac{x}{3} + C \] 7) \( \int 2\sin^24x + 2\cos^23x \, dx \) Ta sẽ tính nguyên hàm từng phần riêng biệt: \[ \int 2\sin^24x \, dx \] Sử dụng công thức hạ bậc: \[ \sin^2a = \frac{1 - \cos2a}{2} \] \[ \int 2\sin^24x \, dx = \int 2 \cdot \frac{1 - \cos8x}{2} \, dx = \int (1 - \cos8x) \, dx = x - \frac{1}{8} \sin8x + C_1 \] \[ \int 2\cos^23x \, dx \] Sử dụng công thức hạ bậc: \[ \cos^2a = \frac{1 + \cos2a}{2} \] \[ \int 2\cos^23x \, dx = \int 2 \cdot \frac{1 + \cos6x}{2} \, dx = \int (1 + \cos6x) \, dx = x + \frac{1}{6} \sin6x + C_2 \] Kết hợp lại: \[ \int 2\sin^24x + 2\cos^23x \, dx = x - \frac{1}{8} \sin8x + x + \frac{1}{6} \sin6x + C = 2x - \frac{1}{8} \sin8x + \frac{1}{6} \sin6x + C \] 8) \( \int \tan^22x \, dx \) Ta sẽ tính nguyên hàm: \[ \int \tan^22x \, dx \] Sử dụng công thức: \[ \tan^2a = \sec^2a - 1 \] \[ \int \tan^22x \, dx = \int (\sec^22x - 1) \, dx = \frac{1}{2} \tan2x - x + C \] 9) \( \int 2\sin10x\sin3x \, dx \) Ta sẽ tính nguyên hàm: \[ \int 2\sin10x\sin3x \, dx \] Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng: \[ \sin a \sin b = \frac{1}{2} [\cos(a-b) - \cos(a+b)] \] \[ \int 2\sin10x\sin3x \, dx = \int 2 \cdot \frac{1}{2} [\cos7x - \cos13x] \, dx = \int (\cos7x - \cos13x) \, dx = \frac{1}{7} \sin7x - \frac{1}{13} \sin13x + C \] 10) \( \int \cot^2x + 1 \, dx \) Ta sẽ tính nguyên hàm: \[ \int \cot^2x + 1 \, dx \] Sử dụng công thức: \[ \cot^2a + 1 = \csc^2a \] \[ \int \cot^2x + 1 \, dx = \int \csc^2x \, dx = -\cot x + C \] 11) \( \int 2\sin^2x\cos3x \, dx \) Ta sẽ tính nguyên hàm: \[ \int 2\sin^2x\cos3x \, dx \] Sử dụng công thức hạ bậc: \[ \sin^2a = \frac{1 - \cos2a}{2} \] \[ \int 2\sin^2x\cos3x \, dx = \int 2 \cdot \frac{1 - \cos2x}{2} \cos3x \, dx = \int (1 - \cos2x) \cos3x \, dx \] \[ = \int \cos3x \, dx - \int \cos2x \cos3x \, dx \] \[ = \frac{1}{3} \sin3x - \int \cos2x \cos3x \, dx \] Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng: \[ \cos a \cos b = \frac{1}{2} [\cos(a-b) + \cos(a+b)] \] \[ \int \cos2x \cos3x \, dx = \int \frac{1}{2} [\cos x + \cos5x] \, dx = \frac{1}{2} \left( \sin x + \frac{1}{5} \sin5x \right) + C \] Kết hợp lại: \[ \int 2\sin^2x\cos3x \, dx = \frac{1}{3} \sin3x - \frac{1}{2} \left( \sin x + \frac{1}{5} \sin5x \right) + C = \frac{1}{3} \sin3x - \frac{1}{2} \sin x - \frac{1}{10} \sin5x + C \] 12) \( \int 2\cos^2x\sin4x \, dx \) Ta sẽ tính nguyên hàm: \[ \int 2\cos^2x\sin4x \, dx \] Sử dụng công thức hạ bậc: \[ \cos^2a = \frac{1 + \cos2a}{2} \] \[ \int 2\cos^2x\sin4x \, dx = \int 2 \cdot \frac{1 + \cos2x}{2} \sin4x \, dx = \int (1 + \cos2x) \sin4x \, dx \] \[ = \int \sin4x \, dx + \int \cos2x \sin4x \, dx \] \[ = -\frac{1}{4} \cos4x + \int \cos2x \sin4x \, dx \] Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng: \[ \cos a \sin b = \frac{1}{2} [\sin(a+b) - \sin(a-b)] \] \[ \int \cos2x \sin4x \, dx = \int \frac{1}{2} [\sin6x - \sin2x] \, dx = \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{6} \cos6x + \frac{1}{2} \cos2x \right) + C \] Kết hợp lại: \[ \int 2\cos^2x\sin4x \, dx = -\frac{1}{4} \cos4x + \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{6} \cos6x + \frac{1}{2} \cos2x \right) + C = -\frac{1}{4} \cos4x - \frac{1}{12} \cos6x + \frac{1}{4} \cos2x + C \] 13) \( \int \frac{1}{\sin^25x} + \frac{1}{1+\cos4x} \, dx \) Ta sẽ tính nguyên hàm từng phần riêng biệt: \[ \int \frac{1}{\sin^25x} \, dx \] Sử dụng công thức: \[ \frac{1}{\sin^2a} = \csc^2a \] \[ \int \frac{1}{\sin^25x} \, dx = \int \csc^25x \, dx = -\frac{1}{5} \cot5x + C_1 \] \[ \int \frac{1}{1+\cos4x} \, dx \] Sử dụng công thức: \[ \frac{1}{1+\cos a} = \frac{1}{2} \sec^2\frac{a}{2} \] \[ \int \frac{1}{1+\cos4x} \, dx = \int \frac{1}{2} \sec^22x \, dx = \frac{1}{2} \tan2x + C_2 \] Kết hợp lại: \[ \int \frac{1}{\sin^25x} + \frac{1}{1+\cos4x} \, dx = -\frac{1}{5} \cot5x + \frac{1}{2} \tan2x + C \] 14) \( \int \frac{1}{\cos^22x} + \frac{1}{1-\cos4x} \, dx \) Ta sẽ tính nguyên hàm từng phần riêng biệt: \[ \int \frac{1}{\cos^22x} \, dx \] Sử dụng công thức: \[ \frac{1}{\cos^2a} = \sec^2a \] \[ \int \frac{1}{\cos^22x} \, dx = \int \sec^22x \, dx = \frac{1}{2} \tan2x + C_1 \] \[ \int \frac{1}{1-\cos4x} \, dx \] Sử dụng công thức: \[ \frac{1}{1-\cos a} = \frac{1}{2} \csc^2\frac{a}{2} \] \[ \int \frac{1}{1-\cos4x} \, dx = \int \frac{1}{2} \csc^22x \, dx = -\frac{1}{2} \cot2x + C_2 \] Kết hợp lại: \[ \int \frac{1}{\cos^22x} + \frac{1}{1-\cos4x} \, dx = \frac{1}{2} \tan2x - \frac{1}{2} \cot2x + C \] 15) \( \int 3^{\frac{x}{2}} + 4^{3x} + e^{4x} - e^{-x} \, dx \) Ta sẽ tính nguyên hàm từng phần riêng biệt: \[ \int 3^{\frac{x}{2}} \, dx \] Sử dụng công thức: \[ \int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C \] \[ \int 3^{\frac{x}{2}} \, dx = \frac{3^{\frac{x}{2}}}{\ln 3} \cdot 2 + C_1 = \frac{2 \cdot 3^{\frac{x}{2}}}{\ln 3} + C_1 \] \[ \int 4^{3x} \, dx \] Sử dụng công thức: \[ \int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C \] \[ \int 4^{3x} \, dx = \frac{4^{3x}}{\ln 4} \cdot \frac{1}{3} + C_2 = \frac{4^{3x}}{3 \ln 4} + C_2 \] \[ \int e^{4x} \, dx \] Sử dụng công thức: \[ \int e^{ax} \, dx = \frac{e^{ax}}{a} + C \] \[ \int e^{4x} \, dx = \frac{e^{4x}}{4} + C_3 \] \[ \int e^{-x} \, dx \] Sử dụng công thức: \[ \int e^{ax} \, dx = \frac{e^{ax}}{a} + C \] \[ \int e^{-x} \, dx = -e^{-x} + C_4 \] Kết hợp lại: \[ \int 3^{\frac{x}{2}} + 4^{3x} + e^{4x} - e^{-x} \, dx = \frac{2 \cdot 3^{\frac{x}{2}}}{\ln 3} + \frac{4^{3x}}{3 \ln 4} + \frac{e^{4x}}{4} + e^{-x} + C \]