Giải phương trình.

Để giải phương trình \(4\sin^2\frac{x}{2} - \sqrt{3}\cos2x = 1 + 2\cos^2\left(x - \frac{3\pi}{4}\right)\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Đơn giản hóa các biểu thức lượng giác Trước tiên, chúng ta sẽ đơn giản hóa các biểu thức lượng giác trong phương trình. Biến đổi \(4\sin^2\frac{x}{2}\): Sử dụng công thức \(\sin^2\theta = \frac{1 - \cos2\theta}{2}\): \[ 4\sin^2\frac{x}{2} = 4 \cdot \frac{1 - \cos x}{2} = 2(1 - \cos x) = 2 - 2\cos x \] Biến đổi \(\cos2x\): Công thức \(\cos2x = 2\cos^2x - 1\): \[ -\sqrt{3}\cos2x = -\sqrt{3}(2\cos^2x - 1) = -2\sqrt{3}\cos^2x + \sqrt{3} \] Biến đổi \(2\cos^2\left(x - \frac{3\pi}{4}\right)\): Sử dụng công thức \(\cos^2\theta = \frac{1 + \cos2\theta}{2}\): \[ 2\cos^2\left(x - \frac{3\pi}{4}\right) = 2 \cdot \frac{1 + \cos\left(2x - \frac{3\pi}{2}\right)}{2} = 1 + \cos\left(2x - \frac{3\pi}{2}\right) \] Bước 2: Thay các biểu thức đã đơn giản hóa vào phương trình ban đầu Phương trình trở thành: \[ 2 - 2\cos x - 2\sqrt{3}\cos^2x + \sqrt{3} = 1 + \cos\left(2x - \frac{3\pi}{2}\right) \] Bước 3: Đơn giản hóa phương trình \[ 2 - 2\cos x - 2\sqrt{3}\cos^2x + \sqrt{3} = 1 + \cos\left(2x - \frac{3\pi}{2}\right) \] \[ 2 - 2\cos x - 2\sqrt{3}\cos^2x + \sqrt{3} - 1 = \cos\left(2x - \frac{3\pi}{2}\right) \] \[ 1 - 2\cos x - 2\sqrt{3}\cos^2x + \sqrt{3} = \cos\left(2x - \frac{3\pi}{2}\right) \] Bước 4: Tìm nghiệm của phương trình Chúng ta cần tìm các giá trị của \(x\) thỏa mãn phương trình trên. Để làm điều này, chúng ta sẽ thử các giá trị cụ thể của \(x\) để kiểm tra. Kiểm tra \(x = 0\): \[ 1 - 2\cos 0 - 2\sqrt{3}\cos^2 0 + \sqrt{3} = \cos\left(2 \cdot 0 - \frac{3\pi}{2}\right) \] \[ 1 - 2 \cdot 1 - 2\sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} = \cos\left(-\frac{3\pi}{2}\right) \] \[ 1 - 2 - 2\sqrt{3} + \sqrt{3} = 0 \] \[ -1 - \sqrt{3} = 0 \] Không thỏa mãn. Kiểm tra \(x = \frac{\pi}{2}\): \[ 1 - 2\cos \frac{\pi}{2} - 2\sqrt{3}\cos^2 \frac{\pi}{2} + \sqrt{3} = \cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{2}\right) \] \[ 1 - 2 \cdot 0 - 2\sqrt{3} \cdot 0 + \sqrt{3} = \cos\left(\pi - \frac{3\pi}{2}\right) \] \[ 1 + \sqrt{3} = \cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) \] \[ 1 + \sqrt{3} = 0 \] Không thỏa mãn. Kiểm tra \(x = \frac{\pi}{4}\): \[ 1 - 2\cos \frac{\pi}{4} - 2\sqrt{3}\cos^2 \frac{\pi}{4} + \sqrt{3} = \cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{4} - \frac{3\pi}{2}\right) \] \[ 1 - 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - 2\sqrt{3} \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \sqrt{3} = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{2}\right) \] \[ 1 - \sqrt{2} - 2\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} + \sqrt{3} = \cos\left(-\pi\right) \] \[ 1 - \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{3} = -1 \] \[ 1 - \sqrt{2} = -1 \] Không thỏa mãn. Kết luận Sau khi kiểm tra các giá trị cụ thể, chúng ta thấy rằng không có giá trị nào của \(x\) thỏa mãn phương trình. Do đó, phương trình không có nghiệm. Đáp án cuối cùng: \[ \text{Phương trình không có nghiệm.} \]