Tính min T.

Câu 40: Để giải bài toán này, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( T = \frac{SP}{SB} + \frac{SQ}{SD} \). Bước 1: Phân tích bài toán - Ta có hình chóp \( S.ABCD \) với đáy là hình bình hành \( ABCD \). - \( M, N \) lần lượt là trung điểm của \( SA \) và \( SC \). - Mặt phẳng \((\alpha)\) thay đổi qua \( MN \) cắt các cạnh \( SB, SD \) tại \( P, Q \). Bước 2: Sử dụng tính chất trung điểm Do \( M \) và \( N \) là trung điểm của \( SA \) và \( SC \), ta có: - \( \overrightarrow{SM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{SA} \) - \( \overrightarrow{SN} = \frac{1}{2} \overrightarrow{SC} \) Bước 3: Xét mặt phẳng \((\alpha)\) qua \( MN \) Mặt phẳng \((\alpha)\) qua \( MN \) có thể được biểu diễn dưới dạng tham số: - \( \overrightarrow{SP} = t \overrightarrow{SB} \) với \( 0 \leq t \leq 1 \) - \( \overrightarrow{SQ} = u \overrightarrow{SD} \) với \( 0 \leq u \leq 1 \) Bước 4: Tính toán biểu thức \( T \) Biểu thức cần tìm giá trị nhỏ nhất là: \[ T = \frac{SP}{SB} + \frac{SQ}{SD} = t + u \] Bước 5: Sử dụng tính chất hình học Do \( M \) và \( N \) là trung điểm, mặt phẳng \((\alpha)\) qua \( MN \) sẽ chia hình chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau. Điều này có nghĩa là: \[ \frac{SP}{SB} + \frac{SQ}{SD} = 1 \] Bước 6: Kết luận Từ các bước trên, ta thấy rằng giá trị nhỏ nhất của \( T = \frac{SP}{SB} + \frac{SQ}{SD} \) là 1. Điều này xảy ra khi mặt phẳng \((\alpha)\) chia hình chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau. Vậy, giá trị nhỏ nhất của \( T \) là \( T_{\min} = 1 \).