giúp mình với

Bài 3: a) Ta có \(A=\frac{10}{x^2-2x+2}=\frac{10}{(x-1)^2+1}\) Ta thấy \((x-1)^2 \geq 0\) với mọi \(x\), do đó \((x-1)^2+1 \geq 1\) với mọi \(x\). Do đó \(A \leq 10\) với mọi \(x\). Dấu “=” xảy ra khi \(x=1\). Vậy giá trị lớn nhất của \(A\) là 10, đạt được khi \(x=1\). b) Ta có \(B=\frac{-5}{x^2+4x+5}=\frac{-5}{(x+2)^2+1}\) Ta thấy \((x+2)^2 \geq 0\) với mọi \(x\), do đó \((x+2)^2+1 \geq 1\) với mọi \(x\). Do đó \(B \geq -5\) với mọi \(x\). Dấu “=” xảy ra khi \(x=-2\). Vậy giá trị nhỏ nhất của \(B\) là -5, đạt được khi \(x=-2\). c) Ta có \(C=\frac{1}{-x^3+2x-8}\) Ta thấy \(-x^3+2x-8\) có thể nhận cả giá trị dương và âm. Do đó \(C\) có thể nhận cả giá trị dương và âm. Vậy \(C\) không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. d) Ta có \(D=\frac{12}{x^2+6y+13}=\frac{12}{(x+3)^2+4y+4}\) Ta thấy \((x+3)^2 \geq 0\) với mọi \(x\), do đó \((x+3)^2+4y+4 \geq 4y+4\) với mọi \(x\). Do đó \(D \leq \frac{12}{4y+4}\) với mọi \(x\). Vậy giá trị lớn nhất của \(D\) là \(\frac{12}{4y+4}\), đạt được khi \(x=-3\). e) Ta có \(E=\frac{2024}{-4x^2-4x-2}=\frac{2024}{-(2x+1)^2-1}\) Ta thấy \(-(2x+1)^2-1 \leq -1\) với mọi \(x\), do đó \(E \geq -2024\) với mọi \(x\). Dấu “=” xảy ra khi \(x=-\frac{1}{2}\). Vậy giá trị nhỏ nhất của \(E\) là -2024, đạt được khi \(x=-\frac{1}{2}\). f) Ta có \(F=\frac{x^2-4x+4}{x^2-4x+5}=\frac{(x-2)^2}{(x-2)^2+1}\) Ta thấy \((x-2)^2 \geq 0\) với mọi \(x\), do đó \((x-2)^2+1 \geq 1\) với mọi \(x\). Do đó \(F \leq 1\) với mọi \(x\). Dấu “=” xảy ra khi \(x=2\). Vậy giá trị lớn nhất của \(F\) là 1, đạt được khi \(x=2\). Bài 4: a) \( A = x^2 + y^2 - 2x + 4y + 6 \) Ta có: \[ A = x^2 - 2x + 1 + y^2 + 4y + 4 + 1 \] \[ A = (x - 1)^2 + (y + 2)^2 + 1 \] Vì \((x - 1)^2 \geq 0\) và \((y + 2)^2 \geq 0\), nên: \[ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 + 1 \geq 1 \] Do đó, giá trị nhỏ nhất của \( A \) là 1, đạt được khi \( x = 1 \) và \( y = -2 \). b) \( B = 4x^2 + y^2 - 4x - 6y + 15 \) Ta có: \[ B = 4(x^2 - x) + y^2 - 6y + 15 \] \[ B = 4(x^2 - x + \frac{1}{4}) + y^2 - 6y + 15 - 1 \] \[ B = 4(x - \frac{1}{2})^2 + y^2 - 6y + 14 \] \[ B = 4(x - \frac{1}{2})^2 + (y - 3)^2 + 5 \] Vì \(4(x - \frac{1}{2})^2 \geq 0\) và \((y - 3)^2 \geq 0\), nên: \[ 4(x - \frac{1}{2})^2 + (y - 3)^2 + 5 \geq 5 \] Do đó, giá trị nhỏ nhất của \( B \) là 5, đạt được khi \( x = \frac{1}{2} \) và \( y = 3 \). c) \( C = -x^2 - y^2 + 2x - 8y - 18 \) Ta có: \[ C = -(x^2 - 2x) - (y^2 + 8y) - 18 \] \[ C = -(x^2 - 2x + 1) - (y^2 + 8y + 16) - 18 + 1 + 16 \] \[ C = -(x - 1)^2 - (y + 4)^2 - 1 \] Vì \(-(x - 1)^2 \leq 0\) và \(-(y + 4)^2 \leq 0\), nên: \[ -(x - 1)^2 - (y + 4)^2 - 1 \leq -1 \] Do đó, giá trị lớn nhất của \( C \) là -1, đạt được khi \( x = 1 \) và \( y = -4 \). d) \( D = x^2 + 2y^2 + 2xy - 2y + 3 \) Ta có: \[ D = x^2 + 2xy + y^2 + y^2 - 2y + 3 \] \[ D = (x + y)^2 + y^2 - 2y + 3 \] \[ D = (x + y)^2 + (y - 1)^2 + 2 \] Vì \((x + y)^2 \geq 0\) và \((y - 1)^2 \geq 0\), nên: \[ (x + y)^2 + (y - 1)^2 + 2 \geq 2 \] Do đó, giá trị nhỏ nhất của \( D \) là 2, đạt được khi \( x + y = 0 \) và \( y = 1 \). e) \( E = 5x^2 + y^2 - 4xy - 2x + 5 \) Ta có: \[ E = 5x^2 - 4xy + y^2 - 2x + 5 \] \[ E = 5(x^2 - \frac{4}{5}xy + \frac{4}{25}y^2) + y^2 - \frac{4}{5}y^2 - 2x + 5 \] \[ E = 5(x - \frac{2}{5}y)^2 + \frac{1}{5}y^2 - 2x + 5 \] Vì \(5(x - \frac{2}{5}y)^2 \geq 0\) và \(\frac{1}{5}y^2 \geq 0\), nên: \[ 5(x - \frac{2}{5}y)^2 + \frac{1}{5}y^2 - 2x + 5 \geq 5 \] Do đó, giá trị nhỏ nhất của \( E \) là 5, đạt được khi \( x = \frac{2}{5}y \) và \( y = 0 \). f) \( F = -x^2 - 4y^2 + 2xy + 4y - 2 \) Ta có: \[ F = -x^2 + 2xy - y^2 - 3y^2 + 4y - 2 \] \[ F = -(x - y)^2 - 3(y^2 - \frac{4}{3}y) - 2 \] \[ F = -(x - y)^2 - 3(y^2 - \frac{4}{3}y + \frac{4}{9}) - 2 + \frac{4}{3} \] \[ F = -(x - y)^2 - 3(y - \frac{2}{3})^2 - \frac{2}{3} \] Vì \(-(x - y)^2 \leq 0\) và \(-3(y - \frac{2}{3})^2 \leq 0\), nên: \[ -(x - y)^2 - 3(y - \frac{2}{3})^2 - \frac{2}{3} \leq -\frac{2}{3} \] Do đó, giá trị lớn nhất của \( F \) là \(-\frac{2}{3}\), đạt được khi \( x = y \) và \( y = \frac{2}{3} \). Bài 5: a) \(A = (x+1)^2 + (x-3)^2\) Ta có: \[ A = (x+1)^2 + (x-3)^2 \] \[ = x^2 + 2x + 1 + x^2 - 6x + 9 \] \[ = 2x^2 - 4x + 10 \] Để tìm giá trị nhỏ nhất của \(A\), ta viết lại biểu thức dưới dạng: \[ A = 2(x^2 - 2x) + 10 \] \[ = 2(x^2 - 2x + 1 - 1) + 10 \] \[ = 2((x-1)^2 - 1) + 10 \] \[ = 2(x-1)^2 - 2 + 10 \] \[ = 2(x-1)^2 + 8 \] Vì \(2(x-1)^2 \geq 0\) nên \(2(x-1)^2 + 8 \geq 8\). Do đó, giá trị nhỏ nhất của \(A\) là 8, đạt được khi \(x = 1\). b) \(B = (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)\) Ta có: \[ B = (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) \] \[ = [(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)] \] \[ = (x^2 + 5x + 4)(x^2 + 5x + 6) \] Đặt \(t = x^2 + 5x + 5\), ta có: \[ B = (t-1)(t+1) \] \[ = t^2 - 1 \] Vì \(t^2 \geq 0\) nên \(t^2 - 1 \geq -1\). Do đó, giá trị nhỏ nhất của \(B\) là -1, đạt được khi \(t = 0\), tức là \(x^2 + 5x + 5 = 0\). Giải phương trình này, ta thấy nó vô nghiệm thực, do đó \(B\) không có giá trị nhỏ nhất thực sự. c) \(C = x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx\) Ta có: \[ C = x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx \] \[ = \frac{1}{2}[(x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2] \] Vì tổng bình phương của các số thực luôn không âm, nên: \[ C \geq 0 \] Do đó, giá trị nhỏ nhất của \(C\) là 0, đạt được khi \(x = y = z\). d) \(D = -x^2 - y^2 + 4x - 6y + 13\) Ta có: \[ D = -x^2 - y^2 + 4x - 6y + 13 \] \[ = -(x^2 - 4x) - (y^2 + 6y) + 13 \] \[ = -(x^2 - 4x + 4 - 4) - (y^2 + 6y + 9 - 9) + 13 \] \[ = -(x-2)^2 + 4 - (y+3)^2 + 9 + 13 \] \[ = -(x-2)^2 - (y+3)^2 + 26 \] Vì \(-(x-2)^2 \leq 0\) và \(-(y+3)^2 \leq 0\), nên: \[ -(x-2)^2 - (y+3)^2 + 26 \leq 26 \] Do đó, giá trị lớn nhất của \(D\) là 26, đạt được khi \(x = 2\) và \(y = -3\). e) \(E = \frac{15}{3x^2 - 12x + 16}\) Ta có: \[ E = \frac{15}{3x^2 - 12x + 16} \] \[ = \frac{15}{3(x^2 - 4x) + 16} \] \[ = \frac{15}{3(x^2 - 4x + 4 - 4) + 16} \] \[ = \frac{15}{3(x-2)^2 - 12 + 16} \] \[ = \frac{15}{3(x-2)^2 + 4} \] Vì \(3(x-2)^2 \geq 0\), nên: \[ 3(x-2)^2 + 4 \geq 4 \] Do đó, giá trị lớn nhất của \(E\) là \(\frac{15}{4}\), đạt được khi \(x = 2\). f) \(F = \frac{3x^2 + 6x + 5}{x^2 + 2x + 2}\) Ta có: \[ F = \frac{3x^2 + 6x + 5}{x^2 + 2x + 2} \] \[ = \frac{3(x^2 + 2x) + 5}{x^2 + 2x + 2} \] \[ = \frac{3(x^2 + 2x + 1 - 1) + 5}{x^2 + 2x + 2} \] \[ = \frac{3(x+1)^2 - 3 + 5}{x^2 + 2x + 2} \] \[ = \frac{3(x+1)^2 + 2}{x^2 + 2x + 2} \] Vì \(3(x+1)^2 \geq 0\), nên: \[ 3(x+1)^2 + 2 \geq 2 \] Do đó, giá trị lớn nhất của \(F\) là 3, đạt được khi \(x = -1\).