Giúp mình với! chứng minh: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình vuông có chu vi nhỏ nhất.

Để chứng minh rằng trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình vuông có chu vi nhỏ nhất, ta sẽ thực hiện các bước sau: Giả sử hình chữ nhật có chiều dài là \(a\) và chiều rộng là \(b\), với điều kiện \(a, b > 0\). Diện tích của hình chữ nhật là \(S = a \times b\). Giả sử diện tích này là một hằng số \(k\), tức là \(a \times b = k\). Chu vi của hình chữ nhật là \(P = 2(a + b)\). Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của \(P\) khi \(a \times b = k\). Sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương \(a\) và \(b\): \[ \frac{a + b}{2} \geq \sqrt{a \times b} \] Thay \(a \times b = k\) vào, ta có: \[ \frac{a + b}{2} \geq \sqrt{k} \] Suy ra: \[ a + b \geq 2\sqrt{k} \] Do đó, chu vi \(P = 2(a + b) \geq 4\sqrt{k}\). Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a = b\), tức là hình chữ nhật trở thành hình vuông. Vậy, trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích \(k\), hình vuông có chu vi nhỏ nhất là \(4\sqrt{k}\).